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傅里叶变换(Fourier Transform)

书接上文,我们知道在 $R^n$ 空间中我们可以找到一个正交基来构成其基向量,通过之前关于向量空间的介绍我们也知道向量不仅仅是一个拥有长度和方向的小箭头,一个函数,一张图片都可以被认为是一个向量.函数在值域 $[0, 1]$ 之间的积分被称为函数的模, 两个函数同样可以求点积,因此如果我们将从 $R^n$ 空间中提取正交基的想法推广到更泛化的情景.我们是否可以在函数空间(space of functions)中提取一个正交基呢?(一组函数,函数之间的点积为0).答案是肯定的,这也正是傅里叶变换的背后思想.

函数点积:值越小表示两个函数的相似度越低.

举例:假设有一个周期为 $2\pi$ 的函数,其函数图像如下图所示:

对于这种类型的函数,我们可以把它看作是一系列基本函数 $(cos(nx))$ $sin(mx)$ $m,n \in N$ 的线性组合
这些被分解后的一系列函数函数给了我们一个非常自然的关于信号的解码:

类比将 $R^n$ 空间上向量表示为正交基的线性组合,同样我们也可以将函数表达为一系列基函数 $(cos(nx))$ $sin(mx)$ $m,n \in N$ 的线性组合,这些基函数是正交的,模为1.

信号的频率分解

更一般的说,这种将信号(函数)投射到不同的”频率”,将信号由不同频率的函数的线性组合来表示的过程,被称之为傅里叶分解(Fourier decomposition).
傅里叶分解应用很广泛,适用于各种信号处理,例如图像处理,渲染,几何,物理模拟等等.

线性方程组

线性方程组就是一组方程，左边是线性函数，右边是常数:

$x + 2y = 3$

$4x + 5y = 6$

以上线性方程组很好求解,通过高斯消元,可以很容易的得到 $x,y$ 的值,但是在这里我们不妨停下来想一想,求解线性方程组到底意味着什么?它有什么特殊几何意义吗?我们先从线性系统的可视化讲起.

线性系统的可视化

当然一个线性系统可以用来表示许多不同的实际任务,但是对于任何的线性系统,它们都可以通过一些不错的图像来直观的呈现表达,这些数学公式后背隐藏的图像以及其几何意义才线性代数的本质:

1.左侧线性方程组的解为两条直线的交点

2.右侧表示给定三维空间的一个点 $b$ ,找到该点在经过 $f$ 变换前的二维空间点 $x$

线性方程组的解

需要注意的是并不是所有的线性方程组都有解,线性方程组的解也不一定是唯一的.

用矩阵来表示线性变换

还拿之前二三维空间变换的例子来说明,假设我们有一个线性变换f满足:

$f(\mathbf{u}) = u_{1}\mathbf{a_{1}} + u_{2}\mathbf{a_{2}}$

我们如何用矩阵来表示该线性变换 $f$ 呢?
首先我们先要想清楚线性变换的几何意义,线性变换 $f$ 表示从原点开始先沿着 $\mathbf{a_{1}}$ 方向走 $u_{1}$ 距离,然后沿着 $\mathbf{a_{2}}$ 方向走 $u_{2}$ 距离.即 $\mathbf{a_{1}}$ $\mathbf{a_{2}}$ 的线性组合.
当我们用矩阵来表示线性变换时,我们希望矩阵和向量相乘来描述这种变换过程.