文章内容
向量组及其线性相关性
向量组的秩
深入理解矩阵的秩
内积、正交性、线性空间
向量组及其线性相关性
向量和向量组
定义 ：n n n a 1 , a 2 , ⋯ , a n a_1, a_2, \cdots, a_n a 1 , a 2 , ⋯ , a n n n n n n n
α = [ a 1 , a 2 , ⋯ , a n ] \alpha=[a_1, a_2, \cdots, a_n] α = [ a 1 , a 2 , ⋯ , a n ] α i \alpha_i α i α \alpha α i i i
α = [ a 1 a 2 ⋮ a n ] = [ a 1 , a 2 , ⋯ , a n ] T \alpha = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}=[a_1, a_2, \cdots, a_n]^T α = ⎣ ⎡ a 1 a 2 ⋮ a n ⎦ ⎤ = [ a 1 , a 2 , ⋯ , a n ] T
向量本质上还是一个有方向和大小的量，在线性代数中我们用矩阵的形式来表示。
例如向量 α = [ 3 , 4 ] \alpha=[3, 4] α = [ 3 , 4 ]
例 ：
定义 ：给定 { α 1 , α 2 , ⋯ , α m } \{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\} { α 1 , α 2 , ⋯ , α m } α \alpha α { k 1 , k 2 , ⋯ , k m } \{k_1, k_2, \cdots, k_m\} { k 1 , k 2 , ⋯ , k m } ∑ i = 1 n k i a i = k 1 a 1 + k 2 a 2 + ⋯ + k m a m \sum_{i=1}^nk_ia_i=k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m ∑ i = 1 n k i a i = k 1 a 1 + k 2 a 2 + ⋯ + k m a m { α 1 , α 2 , ⋯ , α m } \{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\} { α 1 , α 2 , ⋯ , α m } { k 1 , k 2 , ⋯ , k n } \{k_1, k_2, \cdots, k_n\} { k 1 , k 2 , ⋯ , k n }
多个向量组合在一起得到一个向量组
几个向量加系数组合成的一个表达式就是一个线性组合，线性组合的结果得到一个新的向量(就和几个数字加减乘除后结果还是一个数字一样)
例 ：线性组合 0.8 α + 1.2 β − γ 0.8\alpha+1.2\beta-\gamma 0.8 α + 1.2 β − γ
向量组 { α , β , γ } \{\alpha, \beta, \gamma\} { α , β , γ } { 0.8 , 1.2 , − 1 } \{0.8, 1.2, -1\} { 0.8 , 1.2 , − 1 }
线性表示
定义 ：给定向量组 { α 1 , α 2 , ⋯ , α m } \{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\} { α 1 , α 2 , ⋯ , α m } β \beta β { λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ m } \{\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m\} { λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ m } β = λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + ⋯ + λ m α m \beta=\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\cdots+\lambda_m\alpha_m β = λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + ⋯ + λ m α m β \beta β { α 1 , α 2 , ⋯ , α m } \{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\} { α 1 , α 2 , ⋯ , α m } β \beta β { α 1 , α 2 , ⋯ , α m } \{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\} { α 1 , α 2 , ⋯ , α m }
给定一个向量组，如果这个向量组通过线性组合能得到向量 β \beta β β \beta β
例 ：向量 α 1 = [ 1 , 2 ] , α 2 = [ 2 , 3 ] \alpha_1=[1,2], \alpha_2=[2,3] α 1 = [ 1 , 2 ] , α 2 = [ 2 , 3 ] { α 1 , α 2 } \{\alpha_1, \alpha_2 \} { α 1 , α 2 } β = [ 1 , 2 ] \beta=[1,2] β = [ 1 , 2 ]
β = 1 ∗ α 1 + 0 ∗ α 2 → \beta = 1*\alpha_1 + 0 * \alpha_2 \rightarrow β = 1 ∗ α 1 + 0 ∗ α 2 → β \beta β { α 1 , α 2 } \{\alpha_1,\alpha_2\} { α 1 , α 2 }
定义 ：如果向量组中每一个向量可由另一个向量组线性表示，就称前一个向量组可由后一个向量组线性表示. 如果两个向量组可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的.
有向量组 A , B A,B A , B A A A B B B A A A B B B
性质 ：向量组等价的三条性质
① 反身性：向量组和其本身等价。
向量组 A A A A A A A = { α 1 , α 2 , α 3 } A=\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\} A = { α 1 , α 2 , α 3 }
α 1 = 1 ∗ α 1 + 0 ∗ α 2 + 0 ∗ α 3 \alpha_1 = 1*\alpha_1 + 0*\alpha_2 + 0*\alpha_3 α 1 = 1 ∗ α 1 + 0 ∗ α 2 + 0 ∗ α 3
② 对称性：向量组 A A A B B B B B B A A A
③ 传递性：有向量组 A , B , C A,B,C A , B , C A A A B B B B B B C C C A A A C C C
线性相关性
定义 ：给定 m m m { α 1 , α 2 , ⋯ , α m } \{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\} { α 1 , α 2 , ⋯ , α m } m m m { k 1 , k 2 , ⋯ , k m } \{k_1,k_2,\cdots,k_m\} { k 1 , k 2 , ⋯ , k m } ∑ i = 1 m k i α i = k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0 \sum_{i=1}^mk_i\alpha_i = k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0 ∑ i = 1 m k i α i = k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0 { α 1 , α 2 , ⋯ , α m } \{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\} { α 1 , α 2 , ⋯ , α m } { α 1 , α 2 , ⋯ , α m } \{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\} { α 1 , α 2 , ⋯ , α m }
如果向量组只含有一个向量的话，如果这个向量是零向量 (元素均为0)，则线性相关
如果向量组中包含一个零向量，则该向量组一定线性相关：零向量系数为非零，向量组中其它向量的系数都置为0即可
定理1 ：向量组 { α 1 , ⋯ , α m } ( m ≥ 2 ) \{\alpha_1,\cdots,\alpha_m\}\quad(m \geq 2) { α 1 , ⋯ , α m } ( m ≥ 2 ) 充要 条件是 α 1 , ⋯ , α m \alpha_1,\cdots,\alpha_m α 1 , ⋯ , α m ( m − 1 ) (m-1) ( m − 1 )
根据定义，我们只需找到一个不为0的系数满足条件即可(也就是找到至少一个向量能被其它向量线性表示). 假设一个向量组 { α 1 , α 2 , α 3 } \{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\} { α 1 , α 2 , α 3 } { k 1 , k 2 , k 3 } \{k_1,k_2,k_3\} { k 1 , k 2 , k 3 }
k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 = 0 → α 3 = − ( k 1 k 3 α 1 + k 2 k 3 α 2 ) → α 3 能被 α 1 和 α 2 线性表示 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0 \rightarrow \alpha_3=-(\frac{k_1}{k_3}\alpha_1+\frac {k_2}{k_3}\alpha_2) \rightarrow \alpha_3能被\alpha_1和\alpha_2线性表示 k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 = 0 → α 3 = − ( k 3 k 1 α 1 + k 3 k 2 α 2 ) → α 3 能被 α 1 和 α 2 线性表示
定理2 ：若向量组 { α 1 , α 2 , ⋯ , α m } \{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\} { α 1 , α 2 , ⋯ , α m }
该命题的逆否命题 ：若 { α 1 , α 2 , ⋯ , α m } \{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\} { α 1 , α 2 , ⋯ , α m }
向量组中部分向量已经线性相关后，由于只需存在一种情况满足条件即线性相关，因此就算再添加一些其它向量，考虑最简单的情况，我们将新添加的这部分向量的系数都设为0，那依然满足∑ i = 1 m k i α i = k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0 \sum_{i=1}^mk_i\alpha_i = k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0 ∑ i = 1 m k i α i = k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0
定理3 ：设 向量组 { a 1 , a 2 , ⋯ , a s } \{a_1,a_2,\cdots,a_s\} { a 1 , a 2 , ⋯ , a s } a i a_i a i m m m { β 1 , β 2 , ⋯ , β s } \{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\} { β 1 , β 2 , ⋯ , β s } β i \beta_i β i n n n γ = { γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ s } \gamma=\{\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_s\} γ = { γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ s } γ i = [ a i , β i ] \gamma_i=[a_i, \beta_i] γ i = [ a i , β i ] γ i \gamma_i γ i m + n m+n m + n { a 1 , a 2 , ⋯ , a s } \{a_1,a_2,\cdots,a_s\} { a 1 , a 2 , ⋯ , a s } γ = { γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ s } \gamma=\{\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_s\} γ = { γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ s } γ = { γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ s } \gamma=\{\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_s\} γ = { γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ s } { a 1 , a 2 , ⋯ , a s } \{a_1,a_2,\cdots,a_s\} { a 1 , a 2 , ⋯ , a s }
①：若向量组 a 1 , a 2 , ⋯ , a s a_1,a_2,\cdots,a_s a 1 , a 2 , ⋯ , a s γ = γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ s \gamma=\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_s γ = γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ s 例 ：{ a 1 = [ 1 , 0 , 0 ] a 2 = [ 0 , 1 , 0 ] a 3 = [ 0 , 0 , 1 ] , { β 1 = [ x 1 , x 2 ] β 2 = [ x 3 , x 4 ] β 3 = [ x 5 , x 6 ] ，则 { γ 1 = [ 1 , 0 , 0 , x 1 , x 2 ] γ 2 = [ 0 , 1 , 0 , x 3 , x 4 ] γ 3 = [ 0 , 0 , 1 , x 5 , x 6 ] \begin{cases}a_1=[1,0,0]\\a_2=[0,1,0]\\a_3=[0,0,1]\end{cases},\begin{cases}\beta_1=[x_1,x_2] \\ \beta_2=[x_3,x_4] \\ \beta_3=[x_5,x_6] \end{cases}，则\begin{cases} \gamma_1=[1,0,0,x_1,x_2]\\ \gamma_2=[0,1,0,x_3,x_4] \\ \gamma_3=[0,0,1,x_5,x_6] \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ a 1 = [ 1 , 0 , 0 ] a 2 = [ 0 , 1 , 0 ] a 3 = [ 0 , 0 , 1 ] , ⎩ ⎨ ⎧ β 1 = [ x 1 , x 2 ] β 2 = [ x 3 , x 4 ] β 3 = [ x 5 , x 6 ] ，则 ⎩ ⎨ ⎧ γ 1 = [ 1 , 0 , 0 , x 1 , x 2 ] γ 2 = [ 0 , 1 , 0 , x 3 , x 4 ] γ 3 = [ 0 , 0 , 1 , x 5 , x 6 ]
{ a 1 , a 2 , a 3 } \{a_1,a_2,a_3\} { a 1 , a 2 , a 3 } → \rightarrow → k 1 [ 1 , 0 , 0 ] + k 2 [ 0 , 1 , 0 ] + k 3 [ 0 , 0 , 1 ] = [ 0 , 0 , 0 ] k_1[1,0,0]+k_2[0,1,0]+k_3[0,0,1]=[0,0,0] k 1 [ 1 , 0 , 0 ] + k 2 [ 0 , 1 , 0 ] + k 3 [ 0 , 0 , 1 ] = [ 0 , 0 , 0 ]
因此不存在 k 1 [ 1 , 0 , 0 , x 1 , x 2 ] + k 2 [ 0 , 1 , 0 , x 3 , x 4 ] + k 3 [ 0 , 0 , 1 , x 5 , x 6 ] = [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] k_1[1,0,0,x_1,x_2]+k_2[0,1,0,x_3,x_4]+k_3[0,0,1,x_5,x_6]=[0,0,0,0,0] k 1 [ 1 , 0 , 0 , x 1 , x 2 ] + k 2 [ 0 , 1 , 0 , x 3 , x 4 ] + k 3 [ 0 , 0 , 1 , x 5 , x 6 ] = [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] β i \beta_i β i
②：若 { γ = γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ s } \{\gamma=\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_s\} { γ = γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ s } { a 1 , a 2 , ⋯ , a s } \{a_1,a_2,\cdots,a_s\} { a 1 , a 2 , ⋯ , a s }
同理，若向量组 γ \gamma γ [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] [0,0,0,0,0] [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] [ 0 , 0 , 0 , x 1 , x 2 ] [0,0,0,x_1,x_2] [ 0 , 0 , 0 , x 1 , x 2 ]
例 ：设向量组 { α 1 , α 2 , α 3 , α 4 } \{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\} { α 1 , α 2 , α 3 , α 4 }
{ α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 4 , α 4 + α 1 } \{\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_4,\alpha_4+\alpha_1\} { α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 4 , α 4 + α 1 } { α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 − α 4 , α 4 − α 1 } \{\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3-\alpha_4, \alpha_4-\alpha_1\} { α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 − α 4 , α 4 − α 1 } { α 1 − α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α 4 , α 4 − α 1 } \{\alpha_1-\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3, \alpha_3-\alpha_4, \alpha_4-\alpha_1\} { α 1 − α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α 4 , α 4 − α 1 } { α 1 + α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α 4 , α 4 − α 1 } \{\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_4,\alpha_4-\alpha_1\} { α 1 + α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α 4 , α 4 − α 1 }
这题比较简单，前三个选项就直接观察得出 (尝试消去同项，观察最终是否能成功消除得0)，正常做法和第四小问方法同理
① { α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 4 , α 4 + α 1 } \{\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_4,\alpha_4+\alpha_1\} { α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 4 , α 4 + α 1 }
观察易得：( α 1 + α 2 ) − ( α 2 + α 3 ) + ( α 3 + α 4 ) − ( α 4 + α 1 ) = α 1 + α 2 − α 2 − α 3 + α 3 + α 4 − α 4 − α 1 = 0 (\alpha_1+\alpha_2)-(\alpha_2+\alpha_3)+(\alpha_3+\alpha_4)-(\alpha_4+\alpha_1) = \alpha_1+\alpha_2-\alpha_2-\alpha_3+\alpha_3+\alpha_4-\alpha_4-\alpha_1 = 0 ( α 1 + α 2 ) − ( α 2 + α 3 ) + ( α 3 + α 4 ) − ( α 4 + α 1 ) = α 1 + α 2 − α 2 − α 3 + α 3 + α 4 − α 4 − α 1 = 0 1 , − 1 , 1 , − 1 1,-1,1,-1 1 , − 1 , 1 , − 1
② { α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 − α 4 , α 4 − α 1 } \{\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3-\alpha_4, \alpha_4-\alpha_1\} { α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 − α 4 , α 4 − α 1 }
观察易得：( α 1 + α 2 ) − ( α 2 + α 3 ) + ( α 3 − α 4 ) + ( α 4 − α 1 ) = α 1 + α 2 − α 2 − α 3 + α 3 − α 4 + α 4 − α 1 = 0 (\alpha_1+\alpha_2)-(\alpha_2+\alpha_3)+(\alpha_3-\alpha_4)+(\alpha_4-\alpha_1)=\alpha_1+\alpha_2-\alpha_2-\alpha_3+\alpha_3-\alpha_4+\alpha_4-\alpha_1=0 ( α 1 + α 2 ) − ( α 2 + α 3 ) + ( α 3 − α 4 ) + ( α 4 − α 1 ) = α 1 + α 2 − α 2 − α 3 + α 3 − α 4 + α 4 − α 1 = 0 1 , 01 , 1 , 1 1,01,1,1 1 , 01 , 1 , 1
③ { α 1 − α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α 4 , α 4 − α 1 } \{\alpha_1-\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3, \alpha_3-\alpha_4, \alpha_4-\alpha_1\} { α 1 − α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α 4 , α 4 − α 1 }
观察易得：( α 1 − α 2 ) + ( α 2 − α 3 ) + ( α 3 − α 4 ) + ( α 4 − α 1 ) = α 1 − α 2 + α 2 − α 3 + α 3 − α 4 + α 4 − α 1 = 0 (\alpha_1-\alpha_2)+(\alpha_2-\alpha_3)+(\alpha_3-\alpha_4)+(\alpha_4-\alpha_1)=\alpha_1-\alpha_2+\alpha_2-\alpha_3+\alpha_3-\alpha_4+\alpha_4-\alpha_1=0 ( α 1 − α 2 ) + ( α 2 − α 3 ) + ( α 3 − α 4 ) + ( α 4 − α 1 ) = α 1 − α 2 + α 2 − α 3 + α 3 − α 4 + α 4 − α 1 = 0 1 , 1 , 1 , 1 1,1,1,1 1 , 1 , 1 , 1
④ { α 1 + α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α 4 , α 4 − α 1 } \{\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_4,\alpha_4-\alpha_1\} { α 1 + α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α 4 , α 4 − α 1 }
设系数 k 1 , k 2 , k 3 , k 4 k_1,k_2,k_3,k_4 k 1 , k 2 , k 3 , k 4
k 1 ( α 1 + α 2 ) + k 2 ( α 2 − α 3 ) + k 3 ( α 3 − α 4 ) + k 4 ( α 4 − α 1 ) = 0 k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_2-\alpha_3)+k_3(\alpha_3-\alpha_4)+k_4(\alpha_4-\alpha_1)=0 k 1 ( α 1 + α 2 ) + k 2 ( α 2 − α 3 ) + k 3 ( α 3 − α 4 ) + k 4 ( α 4 − α 1 ) = 0
整理得：( k 1 − k 4 ) α 1 + ( k 1 + k 2 ) α 2 + ( k 3 − k 2 ) α 3 + ( k 4 − k 3 ) α 4 = 0 (k_1-k_4)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_3-k_2)\alpha_3+(k_4-k_3)\alpha_4=0 ( k 1 − k 4 ) α 1 + ( k 1 + k 2 ) α 2 + ( k 3 − k 2 ) α 3 + ( k 4 − k 3 ) α 4 = 0
已知向量组 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 α 1 , α 2 , α 3 , α 4
有：{ k 1 − k 4 = 0 ( 1 ) k 1 + k 2 = 0 ( 2 ) k 3 − k 2 = 0 ( 3 ) k 4 − k 3 = 0 ( 4 ) \begin{cases} k_1-k_4=0 \quad (1)\\ k_1+k_2=0 \quad (2)\\ k_3-k_2=0 \quad (3)\\ k_4-k_3=0 \quad (4)\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ k 1 − k 4 = 0 ( 1 ) k 1 + k 2 = 0 ( 2 ) k 3 − k 2 = 0 ( 3 ) k 4 − k 3 = 0 ( 4 )
(1),(3),(4) 式得：k 1 = k 2 = k 3 = k 4 k_1=k_2=k_3=k_4 k 1 = k 2 = k 3 = k 4
(2) 式得：k 1 = − k 2 k_1=-k_2 k 1 = − k 2
则有 k 1 = k 2 = k 3 = k 4 = 0 k_1=k_2=k_3=k_4=0 k 1 = k 2 = k 3 = k 4 = 0
故 只有当系数全为0时满足条件，{ α 1 + α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α 4 , α 4 − α 1 } \{\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_4,\alpha_4-\alpha_1\} { α 1 + α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α 4 , α 4 − α 1 }
法2：用向量和矩阵的秩 (向量的秩下面有介绍，矩阵的秩参考之前的文章)
[ α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ] ⏟ 满秩 [ 1 0 0 − 1 1 1 0 0 0 − 1 1 0 0 0 − 1 1 ] ⏟ 满秩 = [ α 1 + α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α 4 , α 4 − α 1 ] \underbrace{[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4]}_{满秩}\underbrace{\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1\end{bmatrix}}_{满秩} = [\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_4,\alpha_4-\alpha_1] 满秩 [ α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ] 满秩 ⎣ ⎡ 1 1 0 0 0 1 − 1 0 0 0 1 − 1 − 1 0 0 1 ⎦ ⎤ = [ α 1 + α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α 4 , α 4 − α 1 ]
由图中这两个矩阵满秩可推出结果矩阵也满秩，则 { α 1 + α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α 4 , α 4 − α 1 } \{\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_4,\alpha_4-\alpha_1\} { α 1 + α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α 4 , α 4 − α 1 }
向量组的秩
极大线性无关组
定义 ：设向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α 1 , α 2 , ⋯ , α s α i 1 , α i 2 , ⋯ , α i r \alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ir} α i 1 , α i 2 , ⋯ , α i r
α i 1 , α i 2 , ⋯ , α i r \alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ir} α i 1 , α i 2 , ⋯ , α i r α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α 1 , α 2 , ⋯ , α s α i 1 , α i 2 , ⋯ , α i r \alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ir} α i 1 , α i 2 , ⋯ , α i r α i 1 , α i 2 , ⋯ , α i r \alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ir} α i 1 , α i 2 , ⋯ , α i r α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α 1 , α 2 , ⋯ , α s
向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩，记为 R ( α 1 , α 2 , ⋯ , α s ) = r R(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)=r R ( α 1 , α 2 , ⋯ , α s ) = r
就是从原向量组中选出部分向量按条件组成新的向量组，这个向量组就是原向量组的一个极大无关组
例 ：设一个向量组 { α , β , γ } \{\alpha, \beta, \gamma\} { α , β , γ }
这三个向量不在一个平面
这三个向量在一个平面上，但两两之间不共线
这三个向量在一平面上，但 α , β \alpha,\beta α , β
这三个向量共线
① 这三个向量不在一个平面上
易得：该向量组线性无关，且符合条件，其极大无关组为它本身 { α , β , γ } \{\alpha,\beta,\gamma\} { α , β , γ }
故：R ( { α , β , γ } ) = 3 R(\{\alpha, \beta, \gamma\}) = 3 R ({ α , β , γ }) = 3
三个向量不在一个平面上，那这个向量组肯定是线性无关的，因为不可能通过两个向量低效另一个向量.
② 这三个向量在一个平面上，但两两之间不共线
易得：该向量组中任意两个向量组成的向量组线性无关，且符合条件，其中一个极大无关组为 { α , β } \{\alpha, \beta\} { α , β }
故：R ( { α , β , γ } ) = 2 R(\{\alpha, \beta, \gamma\}) = 2 R ({ α , β , γ }) = 2
③ 这三个向量在一平面上，但 α , β \alpha,\beta α , β
易得：该向量组中向量 γ \gamma γ α , β \alpha,\beta α , β { γ , α } \{\gamma, \alpha\} { γ , α }
故：R ( { α , β , γ } ) = 2 R(\{\alpha,\beta,\gamma\}) = 2 R ({ α , β , γ }) = 2
④ 这三个向量共线
易得：该向量组中任一向量组成的向量组线性无关，且符合条件，其中一个极大无关组为 { α } \{\alpha\} { α }
故：R ( { α , β , γ } ) = 1 R(\{\alpha, \beta, \gamma\}) = 1 R ({ α , β , γ }) = 1
秩的几何解释
从上面例题中不难看出，向量组的秩表示的是这组向量所围成的空间的维度，我们称之为 子空间的维度
例题中的四种情况是在三维空间基础上的三个向量围成的一个子空间，维度分别为 3 , 2 , 2 , 1 3, 2, 2, 1 3 , 2 , 2 , 1
几何上可以理解为 向量组的秩 = 子空间维度 向量组的秩 = 子空间维度 向量组的秩 = 子空间维度
极大无关组的性质
性质1 ：
{ α 1 , α 2 , ⋯ , α s } \{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\} { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } ↔ R ( { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } ) = s \leftrightarrow R(\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\})=s ↔ R ({ α 1 , α 2 , ⋯ , α s }) = s { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } \{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\} { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } ↔ R ( { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } ) < s \leftrightarrow R(\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\}) < s ↔ R ({ α 1 , α 2 , ⋯ , α s }) < s
这条性质很容易就能理解，因为当向量组线性无关时，该向量组本身就是其极大无关组；反之当线性相关时，只能找该向量组的子向量组 (不包括本身) 作为极大无关组
性质2 ：若向量组 { β 1 , ⋯ , β k } \{ \beta_1,\cdots,\beta_k \} { β 1 , ⋯ , β k } { α 1 , ⋯ , α s } \{ \alpha_1,\cdots,\alpha_s \} { α 1 , ⋯ , α s } R ( { β 1 , ⋯ , β k } ) ≤ R ( { α 1 , ⋯ , α s } ) R(\{ \beta_1,\cdots,\beta_k \}) \leq R(\{ \alpha_1,\cdots,\alpha_s \}) R ({ β 1 , ⋯ , β k }) ≤ R ({ α 1 , ⋯ , α s })
反之不成立
性质3 ：若向量组 { β 1 , ⋯ , β t } \{ \beta_1,\cdots,\beta_t \} { β 1 , ⋯ , β t } { α 1 , ⋯ , α s } \{ \alpha_1,\cdots,\alpha_s \} { α 1 , ⋯ , α s } t > s t > s t > s { β 1 , ⋯ , β t } \{\beta_1,\cdots,\beta_t\} { β 1 , ⋯ , β t }
由性质2得：R ( { β 1 , ⋯ , β t } ) ≤ R ( { α 1 , ⋯ , α s } ) R(\{\beta_1,\cdots,\beta_t\}) \leq R(\{ \alpha_1,\cdots,\alpha_s \}) R ({ β 1 , ⋯ , β t }) ≤ R ({ α 1 , ⋯ , α s })
由性质1得：R ( { α 1 , ⋯ , α s } ) ≤ s R(\{ \alpha_1,\cdots,\alpha_s \}) \leq s R ({ α 1 , ⋯ , α s }) ≤ s
则有：R ( { β 1 , ⋯ , β t } ) ≤ s < t R(\{\beta_1,\cdots,\beta_t\}) \leq s < t R ({ β 1 , ⋯ , β t }) ≤ s < t
故：{ β 1 , ⋯ , β t } \{\beta_1,\cdots,\beta_t\} { β 1 , ⋯ , β t }
性质4 ：对矩阵 A A A B B B A A A B B B A = [ α 1 , α 2 , ⋯ , α n ] ∼ 初等行变换 [ ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n ] = B A=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n] \stackrel {初等行变换}{\sim} [\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]=B A = [ α 1 , α 2 , ⋯ , α n ] ∼ 初等行变换 [ ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n ] = B { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } \{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\} { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } { ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n } \{ \xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n \} { ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n }
矩阵做初等行变换，矩阵的秩不变，也就是 R ( A ) = R ( B ) R(A)=R(B) R ( A ) = R ( B )
此外，线性方程组 A x = 0 Ax=0 A x = 0 B x = 0 Bx=0 B x = 0 x x x x x x
相同的线性相关性：例如有 α 1 + α 2 − 2 α 3 = 0 \alpha_1+\alpha_2-2\alpha_3=0 α 1 + α 2 − 2 α 3 = 0 ξ 1 + ξ 2 − 2 ξ 3 = 0 \xi_1+\xi_2-2\xi_3=0 ξ 1 + ξ 2 − 2 ξ 3 = 0
为什么只能做初等行变换 ：因为这里的向量组中的向量都为列向量，做初等行变换相当于对列向量组中的每个列向量内部做操作，若为初等列变换，则相当于把这些列向量自己的元素给打乱了。
为什么做初等行变换不影响线性相关性 ：矩阵的初等行变换对于列向量组中的每个列向量来说，只是在对该向量中的元素做这三种操作(初等变换的三种操作)，这三种操作当然不会影响其线性相关性，说白了要判断其线性相关还是无关，在保证系数不全为0的基础上能将向量组中的各个向量低效即可，对于向量角度上的初等变换中的这三种操作，矩阵在做每一次初等行变换，列向量组中每个列向量中相同位置的元素也会做同样的操作，最后变换后的列向量组中各个向量的关系当然也不会发生改变。
(这里可以自己随便找个案例尝试着推一遍，更好理解)
例 ：已知 α 1 = [ 1 1 1 ] , α 2 = [ 0 2 5 ] , α 3 = [ 2 4 7 ] \alpha_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \alpha_2=\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}, \alpha_3=\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 7 \end{bmatrix} α 1 = ⎣ ⎡ 1 1 1 ⎦ ⎤ , α 2 = ⎣ ⎡ 0 2 5 ⎦ ⎤ , α 3 = ⎣ ⎡ 2 4 7 ⎦ ⎤ { α 1 , α 2 , α 3 } \{ \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \} { α 1 , α 2 , α 3 } { α 1 , α 2 } \{\alpha_1,\alpha_2\} { α 1 , α 2 }
令矩阵 A = [ α 1 , α 2 , α 3 ] = [ 1 0 2 1 2 4 1 5 7 ] ∼ 初等行变换 [ 1 0 2 0 1 1 0 0 0 ] = [ ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ] A=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 5 & 7 \end{bmatrix} \stackrel {初等行变换}{\sim} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = [\xi_1,\xi_2,\xi_3] A = [ α 1 , α 2 , α 3 ] = ⎣ ⎡ 1 1 1 0 2 5 2 4 7 ⎦ ⎤ ∼ 初等行变换 ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 2 1 0 ⎦ ⎤ = [ ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ]
初等行变换为行阶梯矩阵，行阶梯矩阵可以很好地看出线性相关性
观察易得：{ ξ 1 , ξ 2 } \{\xi_1,\xi_2\} { ξ 1 , ξ 2 } { ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 } \{ \xi_1,\xi_2,\xi_3 \} { ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 }
故：{ α 1 , α 2 } \{\alpha_1,\alpha_2\} { α 1 , α 2 } { α 1 , α 2 , α 3 } \{ \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \} { α 1 , α 2 , α 3 }
找极大无关组或判断线性相关性的时候，对于化简后的列向量组，如果几个列向量的元素分布在不同位置，且除此位置外其它位置的元素为0，那就是线性无关，一般这种情况非常多。
例 ：设 α 1 = [ 1 − 1 2 4 ] , α 2 = [ 0 3 1 2 ] , α 3 = [ 3 0 7 14 ] , α 4 = [ 1 − 2 2 0 ] , α 5 = [ 2 1 5 10 ] \alpha_1=\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix},\alpha_2=\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix},\alpha_3=\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 7 \\ 14 \end{bmatrix},\alpha_4=\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix},
\alpha_5=\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \\ 10 \end{bmatrix} α 1 = ⎣ ⎡ 1 − 1 2 4 ⎦ ⎤ , α 2 = ⎣ ⎡ 0 3 1 2 ⎦ ⎤ , α 3 = ⎣ ⎡ 3 0 7 14 ⎦ ⎤ , α 4 = ⎣ ⎡ 1 − 2 2 0 ⎦ ⎤ , α 5 = ⎣ ⎡ 2 1 5 10 ⎦ ⎤
令矩阵 A = [ 1 0 3 1 2 − 1 3 0 − 2 1 2 1 7 2 5 4 2 14 0 10 ] ∼ 初等行变换 [ 1 0 3 0 2 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] = [ ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , ξ 4 , ξ 5 ] A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & 0 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 7 & 2 & 5 \\ 4 & 2 & 14 & 0 & 10 \end{bmatrix} \stackrel {初等行变换}{\sim} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = [\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4,\xi_5] A = ⎣ ⎡ 1 − 1 2 4 0 3 1 2 3 0 7 14 1 − 2 2 0 2 1 5 10 ⎦ ⎤ ∼ 初等行变换 ⎣ ⎡ 1 0 0 0 0 1 0 0 3 1 0 0 0 0 1 0 2 1 0 0 ⎦ ⎤ = [ ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , ξ 4 , ξ 5 ]
观察易得：{ ξ 1 , ξ 2 , ξ 4 } \{\xi_1,\xi_2,\xi_4\} { ξ 1 , ξ 2 , ξ 4 } { α 1 , α 2 , α 4 } \{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\} { α 1 , α 2 , α 4 }
把其余向量线性表出：
ξ 3 = 3 ξ 1 + ξ 2 → α 3 = 3 α 1 + α 2 \xi_3=3\xi_1+\xi_2 \rightarrow \alpha_3=3\alpha_1+\alpha_2 ξ 3 = 3 ξ 1 + ξ 2 → α 3 = 3 α 1 + α 2 ξ 5 = 2 ξ 1 + ξ 2 → α 5 = 2 α 1 + α 2 \xi_5=2\xi_1+\xi_2 \rightarrow \alpha_5=2\alpha_1+\alpha_2 ξ 5 = 2 ξ 1 + ξ 2 → α 5 = 2 α 1 + α 2
例 ：判定向量组 { β 1 , β 2 , β 3 } \{\beta_1,\beta_2,\beta_3\} { β 1 , β 2 , β 3 } β 1 = [ 1 , − 1 , 1 , − 1 ] T , β 2 = [ 1 , 2 , 3 , 1 ] T , β 3 = [ 3 , 3 , 7 , 1 ] T \beta_1=[1,-1,1,-1]^T,\beta_2=[1,2,3,1]^T,\beta_3=[3,3,7,1]^T β 1 = [ 1 , − 1 , 1 , − 1 ] T , β 2 = [ 1 , 2 , 3 , 1 ] T , β 3 = [ 3 , 3 , 7 , 1 ] T
令矩阵 A = [ β 1 , β 2 , β 3 ] = [ 1 1 3 − 1 2 3 1 3 7 − 1 1 1 ] ∼ 初等行变换 [ 1 1 3 0 3 4 0 0 0 0 0 0 ] A=[\beta_1,\beta_2,\beta_3]=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 7 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \stackrel{初等行变换}{\sim}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} A = [ β 1 , β 2 , β 3 ] = ⎣ ⎡ 1 − 1 1 − 1 1 2 3 1 3 3 7 1 ⎦ ⎤ ∼ 初等行变换 ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 3 0 0 3 4 0 0 ⎦ ⎤
易得R ( { β 1 , β 2 , β 3 } ) = R ( A ) = 2 < 3 R(\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\})=R(A)=2<3 R ({ β 1 , β 2 , β 3 }) = R ( A ) = 2 < 3
故 向量组 { β 1 , β 2 , β 3 } \{\beta_1,\beta_2,\beta_3\} { β 1 , β 2 , β 3 }
深入了解矩阵的秩
这里对之前的文章中矩阵的秩的讲解做补充
补充1 ：对于 n n n
证：
已知由伴随矩阵公式 A A ∗ = ∣ A ∣ E AA^*=|A|E A A ∗ = ∣ A ∣ E A − 1 = A ∗ ∣ A ∣ A^{-1}=\frac {A^*}{|A|} A − 1 = ∣ A ∣ A ∗
因此 若矩阵 A A A ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq 0 ∣ A ∣ = 0
矩阵的秩的定义是：矩阵 A A A A A A
矩阵 A A A n n n ∣ A ∣ |A| ∣ A ∣ ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq 0 ∣ A ∣ = 0 R ( A ) = n R(A)=n R ( A ) = n
同理，不可逆矩阵的秩一定是小于 n n n n n n
可逆矩阵与不可逆矩阵：我们知道秩表示子空间维度，可逆矩阵意味着没有一行元素全为0，也就是它的线性变换是可逆的，对于不可逆矩阵，经过线性变换后有某行元素全为0，对应这一维度为0了，这种降维的过程是不可逆的，这个之后会专门讲解。
补充2 ：若 A B = 0 AB=0 A B = 0 R ( A ) + R ( B ) ≤ n R(A)+R(B) \leq n R ( A ) + R ( B ) ≤ n
证：
若 A B = 0 AB=0 A B = 0 B B B A x = 0 Ax=0 A x = 0
已知该齐次方程组的线性无关解的个数为 n − R ( A ) n-R(A) n − R ( A )
线性无关解指这几个向量不能被其它向量线性表出，这些向量的个数就是线性无关解的个数
也就是说，矩阵 B B B B B B n − R ( A ) n-R(A) n − R ( A ) n − R ( A ) n-R(A) n − R ( A ) B B B n − R ( A ) n-R(A) n − R ( A ) n − R ( A ) n-R(A) n − R ( A ) B B B n − R ( A ) n-R(A) n − R ( A ) R ( B ) ≤ n − R ( A ) R(B) \leq n-R(A) R ( B ) ≤ n − R ( A )
为什么第二个条件能成立：因为不能被线性表示的只有这 n − R ( A ) n-R(A) n − R ( A )
你可能会觉得 (能被线性表示的这些向量) 也同样能被 (能被线性表示的这些向量) 表示，但是这就是个循环，循环的尽头就是这些线性无关的向量来表示这些 (能被线性表示的这些向量)
(这里我讲的优点晕，可以好好体会或者思考一下)
故：R ( A ) + R ( B ) ≤ n R(A)+R(B) \leq n R ( A ) + R ( B ) ≤ n
补充3 ：为什么基础解系有 n − R ( A ) n-R(A) n − R ( A )
理解了线性无关解之后，很容易可以想到，线性无关解有 n − R ( A ) n-R(A) n − R ( A ) n − R ( A ) n-R(A) n − R ( A ) n − R ( A ) n-R(A) n − R ( A ) n − R ( A ) n-R(A) n − R ( A )
内积 / 正交性 / 线性空间
向量的内积和正交性
设向量 x = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] ， y = [ y 1 y 2 ⋮ y n ] x=\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}，y=\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} x = ⎣ ⎡ x 1 x 2 ⋮ x n ⎦ ⎤ ， y = ⎣ ⎡ y 1 y 2 ⋮ y n ⎦ ⎤
向量 x , y x,y x , y 内积 为：( x , y ) = ∑ i = 1 n x i y i = x T y = y T x = ∣ ∣ x ∣ ∣ ∗ ∣ ∣ y ∣ ∣ c o s θ (x,y)=\sum_{i=1}^nx_iy_i=x^Ty=y^Tx=||x||*||y||cos\theta ( x , y ) = ∑ i = 1 n x i y i = x T y = y T x = ∣∣ x ∣∣ ∗ ∣∣ y ∣∣ cos θ
向量 x x x 模 为：∣ ∣ x ∣ ∣ = ( x , x ) = ∑ i = 0 n x i 2 ||x||=\sqrt {(x,x)}=\sqrt {\sum_{i=0}^nx_i^2} ∣∣ x ∣∣ = ( x , x ) = ∑ i = 0 n x i 2
正交 ：当 ( x , y ) = 0 (x,y)=0 ( x , y ) = 0 x x x y y y
θ \theta θ x x x y y y
两向量内积为0，这两个向量正交，说明这两个向量形成的夹角为 9 0 ○ 90^○ 9 0 ○
施密特正交法
已知向量 α 1 , α 2 \alpha_1,\alpha_2 α 1 , α 2 α 1 \alpha_1 α 1
公式：β = α 2 − ( α 1 , α 2 ) ( α 1 , α 1 ) α 1 \beta = \alpha_2 – \frac{(\alpha_1,\alpha_2)}{(\alpha_1,\alpha_1)}\alpha_1 β = α 2 − ( α 1 , α 1 ) ( α 1 , α 2 ) α 1 β \beta β α 1 \alpha_1 α 1
推导：β = α 2 − ( α 1 , α 2 ) ( α 1 , α 1 ) α 1 = α 2 − ∣ ∣ α 1 ∣ ∣ ∗ ∣ ∣ α 2 ∣ ∣ c o s θ ∣ ∣ α 1 ∣ ∣ ∗ ∣ ∣ α 1 ∣ ∣ ∗ 1 α 1 = α 2 − ∣ ∣ α 2 c o s θ ∣ ∣ α 1 ∣ ∣ α 1 ∣ ∣ \beta=\alpha_2-\frac{(\alpha_1,\alpha_2)}{(\alpha_1,\alpha_1)}\alpha_1 = \alpha_2 – \frac{||\alpha_1||*||\alpha_2||cos\theta}{||\alpha_1||*||\alpha_1||*1}\alpha_1 =\alpha_2 – ||\alpha_2 cos\theta|| \frac{\alpha_1}{||\alpha_1||} β = α 2 − ( α 1 , α 1 ) ( α 1 , α 2 ) α 1 = α 2 − ∣∣ α 1 ∣∣ ∗ ∣∣ α 1 ∣∣ ∗ 1 ∣∣ α 1 ∣∣ ∗ ∣∣ α 2 ∣∣ cos θ α 1 = α 2 − ∣∣ α 2 cos θ ∣∣ ∣∣ α 1 ∣∣ α 1
例 ：已知 α 1 [ 0 1 1 ] ， α 2 = [ 1 0 1 ] ， α 3 = [ 1 1 0 ] \alpha_1\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}，\alpha_2=\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}，\alpha_3=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} α 1 ⎣ ⎡ 0 1 1 ⎦ ⎤ ， α 2 = ⎣ ⎡ 1 0 1 ⎦ ⎤ ， α 3 = ⎣ ⎡ 1 1 0 ⎦ ⎤
令 β 1 = α 1 \beta_1 = \alpha_1 β 1 = α 1
β 2 = α 2 − ( β 1 , α 2 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 \beta_2 = \alpha_2 – \frac {(\beta_1,\alpha_2)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 β 2 = α 2 − ( β 1 , β 1 ) ( β 1 , α 2 ) β 1 β 3 = α 3 − ( β 1 , α 3 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 − ( β 2 , β 3 ) ( β 2 , β 2 ) β 2 \beta_3 = \alpha_3 – \frac {(\beta_1,\alpha_3)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 – \frac {(\beta_2,\beta_3)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2 β 3 = α 3 − ( β 1 , β 1 ) ( β 1 , α 3 ) β 1 − ( β 2 , β 2 ) ( β 2 , β 3 ) β 2
代入得： β 1 = [ 0 1 1 ] , β 2 = [ 1 − 1 2 1 2 ] ， β 3 = [ 2 3 2 3 − 2 3 ] \beta_1=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\beta_2=\begin{bmatrix} 1 \\ -\frac 1 2 \\ \frac 1 2 \end{bmatrix}，\beta_3=\begin{bmatrix} \frac 2 3 \\ \frac 2 3 \\ -\frac 2 3 \end{bmatrix} β 1 = ⎣ ⎡ 0 1 1 ⎦ ⎤ , β 2 = ⎣ ⎡ 1 − 2 1 2 1 ⎦ ⎤ ， β 3 = ⎣ ⎡ 3 2 3 2 − 3 2 ⎦ ⎤
β 3 ′ = α 3 − ( β 1 , α 3 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 ( β 3 ′ 与 β 1 垂直，但不一定与 β 2 垂直 ) \beta_3′ = \alpha_3 – \frac {(\beta_1,\alpha_3)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 \quad (\beta_3′ 与 \beta_1 垂直，但不一定与 \beta_2 垂直) β 3 ′ = α 3 − ( β 1 , β 1 ) ( β 1 , α 3 ) β 1 ( β 3 ′ 与 β 1 垂直，但不一定与 β 2 垂直 )
β 3 = β 3 ′ − ( β 2 , β 3 ′ ) ( β 2 , β 2 ) β 2 ( β 3 与 β 2 和 β 1 都垂直 ) \beta_3 = \beta_3′ – \frac {(\beta_2,\beta_3′)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2 \quad (\beta_3与\beta_2和\beta_1都垂直) β 3 = β 3 ′ − ( β 2 , β 2 ) ( β 2 , β 3 ′ ) β 2 ( β 3 与 β 2 和 β 1 都垂直 )
因为减去这两个方向上的投影，自然就和这两个向量正交了
化为规范的形式：单位向量 (大小为1)
γ 1 = β 1 ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ = 1 2 [ 0 1 1 ] \gamma_1 = \frac {\beta_1}{||\beta_1||}=\frac {1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} γ 1 = ∣∣ β 1 ∣∣ β 1 = 2 1 ⎣ ⎡ 0 1 1 ⎦ ⎤
γ 2 = β 2 ∣ ∣ β 2 ∣ ∣ = 1 6 [ 2 − 1 1 ] \gamma_2 = \frac {\beta_2}{||\beta_2||}=\frac {1}{\sqrt 6}\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} γ 2 = ∣∣ β 2 ∣∣ β 2 = 6 1 ⎣ ⎡ 2 − 1 1 ⎦ ⎤
γ 3 = β 3 ∣ ∣ β 3 ∣ ∣ = 1 3 [ 1 1 − 1 ] \gamma_3 = \frac {\beta_3}{||\beta_3||}=\frac {1}{\sqrt 3}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} γ 3 = ∣∣ β 3 ∣∣ β 3 = 3 1 ⎣ ⎡ 1 1 − 1 ⎦ ⎤
故结果为：{ γ 1 , γ 2 , γ 3 } \{ \gamma_1,\gamma_2,\gamma_3 \} { γ 1 , γ 2 , γ 3 }
正交矩阵
定义 ：若 n n n A A A A A T = A T A = E AA^T=A^TA=E A A T = A T A = E A A A n n n 正交矩阵
设矩阵 A = [ α 1 , α 2 , ⋯ , α n ] ( α i 为向量 ) A=[\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n] \quad (\alpha_i为向量) A = [ α 1 , α 2 , ⋯ , α n ] ( α i 为向量 )
则 A T A = [ α 1 α 2 ⋮ α n ] [ α 1 , α 2 , ⋯ , α n ] = [ α 1 α 1 α 1 α 2 ⋯ α 1 α n α 2 α 1 α 2 α 2 ⋯ α 2 α n ⋮ ⋮ ⋮ α n α 1 α n α 2 ⋯ α n α n ] A^TA=\begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix}[\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n]=\begin{bmatrix}\alpha_1\alpha_1 & \alpha_1\alpha_2 & \cdots & \alpha_1\alpha_n \\ \alpha_2\alpha_1 & \alpha_2\alpha_2 & \cdots & \alpha_2\alpha_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \alpha_n\alpha_1 & \alpha_n\alpha_2 & \cdots & \alpha_n\alpha_n \end{bmatrix} A T A = ⎣ ⎡ α 1 α 2 ⋮ α n ⎦ ⎤ [ α 1 , α 2 , ⋯ , α n ] = ⎣ ⎡ α 1 α 1 α 2 α 1 ⋮ α n α 1 α 1 α 2 α 2 α 2 ⋮ α n α 2 ⋯ ⋯ ⋯ α 1 α n α 2 α n ⋮ α n α n ⎦ ⎤
要满足 A T A = E A^TA=E A T A = E ( α i , α j ) = α i T α j = { 1 ( i = = j ) 0 ( i ≠ j ) (\alpha_i,\alpha_j)=\alpha_i^T\alpha_j=\begin{cases} 1 \quad (i==j) \\ 0 \quad (i\neq j) \end{cases} ( α i , α j ) = α i T α j = { 1 ( i == j ) 0 ( i = j )
正交矩阵中每个向量和其本身内积为 1，和其它向量内积为 0，也就是说，每个向量和该矩阵中的其它向量都垂直
正交矩阵没有对其中每个向量的规范要求，但一般情况下需要保证该矩阵(向量组)中每个向量的模为1
性质1 ：若 A A A A − 1 A^{-1} A − 1
已知 A A − 1 = A − 1 A = E AA^{-1}=A^{-1}A=E A A − 1 = A − 1 A = E A A T = A T A = E AA^T=A^TA=E A A T = A T A = E
则 A − 1 = A T A^{-1}=A^T A − 1 = A T
故 A − 1 也是正交矩阵 A^{-1} 也是正交矩阵 A − 1 也是正交矩阵
性质2 ：若 A A A ∣ A ∣ = ± 1 |A|=\pm1 ∣ A ∣ = ± 1
已知 A T A = E → ∣ A T A ∣ = ∣ E ∣ → ∣ A T ∣ ∣ A ∣ = ∣ E ∣ → ∣ A ∣ 2 = ∣ E ∣ A^TA=E \rightarrow |A^TA|=|E| \rightarrow |A^T||A|=|E|\rightarrow|A|^2=|E| A T A = E → ∣ A T A ∣ = ∣ E ∣ → ∣ A T ∣∣ A ∣ = ∣ E ∣ → ∣ A ∣ 2 = ∣ E ∣
故：∣ A ∣ = 1 |A|=1 ∣ A ∣ = 1
性质3 ：若 A , B A,B A , B A B AB A B
设矩阵 A , B A,B A , B
( A B ) ( A B ) T = ( A B ) ∗ ( B T A T ) = A ( B B T ) A T = ( A A T ) E = A A T = E (AB)(AB)^T=(AB)*(B^TA^T)=A(BB^T)A^T=(AA^T)E=AA^T=E ( A B ) ( A B ) T = ( A B ) ∗ ( B T A T ) = A ( B B T ) A T = ( A A T ) E = A A T = E
即 ( A B ) ( A B ) T = E (AB)(AB)^T=E ( A B ) ( A B ) T = E
故 A B AB A B
定义 ：正交矩阵的线性变换(初等变换)称为正交变换
性质 ：设 P P P B = P A B=PA B = P A
∣ ∣ B ∣ ∣ = B T B = A T P T P A = A T A = ∣ ∣ A ∣ ∣ ||B||=\sqrt {B^TB}=\sqrt{A^TP^TPA}=\sqrt{A^TA}=||A|| ∣∣ B ∣∣ = B T B = A T P T P A = A T A = ∣∣ A ∣∣
保形性：几何上解释，正交变换其实就是旋转变换或镜像变换，形状当然不变
实施正交变换的矩阵就是正交矩阵
线性空间
定义 ：在线性空间 V V V n n n α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α 1 , α 2 , ⋯ , α n
α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α 1 , α 2 , ⋯ , α n V V V α \alpha α α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α 1 , α 2 , ⋯ , α n
那么，α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α 1 , α 2 , ⋯ , α n V V V n n n V V V n n n n n n V n V_n V n
例 ：三维空间中的一个基：[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤
定义 ：设 n n n e 1 , e 2 , ⋯ , e r e_1,e_2,\cdots,e_r e 1 , e 2 , ⋯ , e r V n V_n V n e 1 , e 2 , ⋯ , e r e_1,e_2,\cdots,e_r e 1 , e 2 , ⋯ , e r e 1 , e 2 , ⋯ , e r e_1,e_2,\cdots,e_r e 1 , e 2 , ⋯ , e r V V V 标准正交基
例如上面的例子就是一个标准正交基，用标准正交基计算起来比较方便
定义 ：设 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α 1 , α 2 , ⋯ , α n V n V_n V n α ∈ V n \alpha \in V_n α ∈ V n x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x 1 , x 2 , ⋯ , x n α = x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x n α n \alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n α = x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x n α n α \alpha α α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α 1 , α 2 , ⋯ , α n α = [ α 1 , α 2 , ⋯ , α n ] T \alpha=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]^T α = [ α 1 , α 2 , ⋯ , α n ] T
其实我们平时用的就很多，我们画的二维、三维坐标轴其实就是用标准正交基来反映其它元素的位置的.
定义 ：设 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α 1 , α 2 , ⋯ , α n β 1 , β 2 , ⋯ , β n \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n β 1 , β 2 , ⋯ , β n V n V_n V n
( 1 ) { β 1 = P 11 α 1 + P 12 α 2 + ⋯ + P 1 n α n β 2 = P 21 α 1 + P 22 α 2 + ⋯ + P 2 n α n ⋮ β n = P n 1 α 1 + P n 2 α 2 + ⋯ + P n n α n (1)\begin{cases} \beta_1=P_{11}\alpha_1+P_{12}\alpha_2+\cdots+P_{1n}\alpha_n \\
\beta_2=P_{21}\alpha_1+P_{22}\alpha_2+\cdots+P_{2n}\alpha_n \\
\quad \quad \vdots \\
\beta_n=P_{n1}\alpha_1+P_{n2}\alpha_2+\cdots+P_{nn}\alpha_n \\
\end{cases} ( 1 ) ⎩ ⎨ ⎧ β 1 = P 11 α 1 + P 12 α 2 + ⋯ + P 1 n α n β 2 = P 21 α 1 + P 22 α 2 + ⋯ + P 2 n α n ⋮ β n = P n 1 α 1 + P n 2 α 2 + ⋯ + P nn α n
将 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α 1 , α 2 , ⋯ , α n n n n [ α 1 , α 2 , ⋯ , α n ] [\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n] [ α 1 , α 2 , ⋯ , α n ] [ β 1 , β 2 , ⋯ , β n ] [\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n] [ β 1 , β 2 , ⋯ , β n ] n n n P P P ( 2 ) [ β 1 , β 2 , ⋯ , β n ] = [ α 1 , α 2 , ⋯ , α n ] P (2)[\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n]=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]P ( 2 ) [ β 1 , β 2 , ⋯ , β n ] = [ α 1 , α 2 , ⋯ , α n ] P
式 ( 1 ) (1) ( 1 ) ( 2 ) (2) ( 2 ) P P P α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α 1 , α 2 , ⋯ , α n β 1 , β 2 , ⋯ , β n \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n β 1 , β 2 , ⋯ , β n β 1 , β 2 , ⋯ , β n \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n β 1 , β 2 , ⋯ , β n P P P
同一个向量在相同的向量空间中不同的基表示的位置坐标是不同的，它们有一个对应关系，这个对应关系用过渡矩阵来表示.
B = A P B=AP B = A P B , A B,A B , A P = A − 1 B P=A^{-1}B P = A − 1 B P P P
同一向量在不同基坐标下的向量元素值也是不同的，但元素向量和坐标向量的内积是相同的(向量大小/模)
例 ：设向量 x x x [ y 1 y 2 y 3 ] , [ z 1 z 2 z 3 ] \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{bmatrix} ⎣ ⎡ y 1 y 2 y 3 ⎦ ⎤ , ⎣ ⎡ z 1 z 2 z 3 ⎦ ⎤
x = [ a 1 , a 2 , a 3 ] [ y 1 y 2 y 3 ] = [ b 1 , b 2 , b 3 ] [ z 1 z 2 z 3 ] → A [ y 1 y 2 y 3 ] = B [ z 1 z 2 z 3 ] → [ z 1 z 2 z 3 ] = B − 1 A [ y 1 y 2 y 3 ] x=[a_1,a_2,a_3]\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}=[b_1,b_2,b_3]\begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{bmatrix}\rightarrow A\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}=B\begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{bmatrix}=B^{-1}A\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} x = [ a 1 , a 2 , a 3 ] ⎣ ⎡ y 1 y 2 y 3 ⎦ ⎤ = [ b 1 , b 2 , b 3 ] ⎣ ⎡ z 1 z 2 z 3 ⎦ ⎤ → A ⎣ ⎡ y 1 y 2 y 3 ⎦ ⎤ = B ⎣ ⎡ z 1 z 2 z 3 ⎦ ⎤ → ⎣ ⎡ z 1 z 2 z 3 ⎦ ⎤ = B − 1 A ⎣ ⎡ y 1 y 2 y 3 ⎦ ⎤
P − 1 = B − 1 A P^{-1}=B^{-1}A P − 1 = B − 1 A
P P P
