文章内容

• 矩阵的初等变换
• 初等矩阵
• 矩阵的秩
• 矩阵分块

矩阵的初等变换

逆矩阵的求法

• 针对抽象矩阵：
  1. 定义法
     • $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶矩阵，求得 $AB=E$，则 $A^{-1}=B$
• 针对具象矩阵：
  1. $AA^*=A^*A=|A|E \quad$ (仅针对二、三阶矩阵，超过三阶不考虑，计算太麻烦)
     • 若 $|A| \neq 0$，则 $A^{-1}=\frac {A^*}{|A|}，(A^*)^{-1}=\frac {A}{|A|}$
  2. 初等变换
     • $(A|E)=(E|A^{-1})$

  矩阵 $A$ 和 $E$ 横向排列时，只能用初等变换

针对具象矩阵，用的最多的就是初等变换

初等变换

1. 用一个非零常数 $K$ 乘以矩阵 $A$ 的某一 行/列
2. 互换矩阵 $A$ 的某两 行/列
3. 将矩阵 $A$ 的某 行/列 的 $K$ 倍加到另一 行/列

矩阵进行一次以上任一操作，则被称为进行了一次初等变换

碰到三阶矩阵求逆，如果比较麻烦，也可以用初等变换

如：

• 矩阵中的某一 行/列 乘以一个数：
  • $A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\stackrel{第一行乘2}{\sim}\begin{bmatrix}2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$
• 某一 行/列 乘以一个数后加到另一 行/列：
  • $A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\stackrel{第一行乘2加到第二行}{\sim}\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 6 & 9 & 12 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$
• 两 行/列 互换：
  • $A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\stackrel{第一行和第二行互换}{\sim}\begin{bmatrix}4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$

与行列式对比，矩阵初等变换的第三项行列式需要改变符号，但矩阵不需要

对于行列式恒等变换，是恒等的，也就是中间是等号，而矩阵初等变换则是由一个矩阵变成了另一个矩阵，是不相同的，矩阵初等变换后数据改变，但秩不变，变换前后两个矩阵是等价的，下面会说明

利用初等变换求逆矩阵

已知矩阵 $A$，找一个和矩阵 $A$ 形状一样的单位矩阵 $E$，横向将矩阵 $E$ 拼接在矩阵 $A$ 的右边，经过数次初等变换后将新的矩阵的左边(原位矩阵 $A$ 的位置)变换为矩阵 $E$ 的形式，得到的新矩阵的右边(原为矩阵 $E$ 的位置)为原矩阵 $A$ 的逆矩阵

例：设 $A=\begin{bmatrix}0 & -2 & 1 \\ 3 & 0 & -2 \\ -2 & 3 & 0 \end{bmatrix}$，证明 $A$ 可逆，并求 $A^{-1}$.

① 证明 $A$ 可逆

② 初等变换法求$A^{-1}$ (也可以用 $A^{-1}=\frac {1} {|A|}A^*$，这里不再说明)

$(A|E)=(E|A^{-1})$

与 $A$ 相同形状的单位矩阵 $E=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$，则$(A|E)=\begin{bmatrix} 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

初等变换：
$\begin{bmatrix} 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \stackrel{\stackrel {r_3*3+2r_2}{r_1 \leftrightarrow r_2}} {\sim} \begin{bmatrix} 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & -4 & 0 & 2 & 3 \end{bmatrix} \stackrel {r_3*2+9r_2} {\sim}$

$\begin{bmatrix} 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6 \end{bmatrix} \stackrel {\stackrel {r_1+2r_3} {r_2-r_3}} {\sim} \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 18 & 9 & 12 \\ 0 & -2 & 0 & -8 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6 \end{bmatrix} \stackrel {\stackrel {r_1 / 3} {r_2 / {-2}}} {\sim}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 6 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6 \end{bmatrix}$

变换结束得到 $(E|A^{-1})$ 的形式，则 $A^{-1}=\begin{bmatrix}6 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 \\ 9 & 4 & 6 \end{bmatrix}$

通过这道例题也可以看出，在初等变换的时候，按照 先将左边对角线上以外位置的元素变换为0，再将对角线上元素变为1 这样的思路进行变换

需要注意的是，若将单位矩阵 $E$ 横向拼接在矩阵 $A$ 的右侧，则只能用 行 的初等变换，若将单位矩阵 $E$ 纵向拼接在矩阵 $A$ 的下侧，则只能用 列 的初等变换

一般情况下我们都是用横向的行变换，无论是行变换还是列变换都是一样的

初等矩阵

初等矩阵的定义

初等矩阵：由单位矩阵 $E$ 经过一次初等变换得到的矩阵叫做初等矩阵

初等矩阵的性质：初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵

初等变换有三种形式，因此初等矩阵也有三种形式

如：

① $\qquad E=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad P_1=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad P_1^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac 1 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

② $\qquad E=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad P_2=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad P_2^{-1}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

③ $\qquad E=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad P_3=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad P_3^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

① ：第二 行/列 乘以2。如果是乘以 $K$ 的话，那逆矩阵对应 行/列 乘以 $\frac {1} {K}$

② ：第一 行/列 和第二 行/列 交换位置。这种方式逆矩阵和初等矩阵一样

③ ：第一 行/列 乘以2后加到第一 行/列 上。某一 行/列 乘以 $K$ 倍加到另一 行/列 上，对应的逆矩阵为某一 行/列 乘以 $-K$ 倍加到另一 行/列 上

初等矩阵和普通矩阵

左行右列

• 矩阵 $A$ 左乘初等矩阵，相当于对 $A$ 做了一次同类型的初等行变换
• 矩阵 $A$ 右乘初等矩阵，相当于对 $A$ 做了一次同类型的初等列变换

例：设 $A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\quad P=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$，求PA，AP.

• $E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \stackrel {r_2*{-2}} {\sim} P=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

  $E$ 第二行乘以-2得到矩阵 $P$

• $A$ 左乘 $P$：$PA=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ -8 & -10 & -12 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$，$A$ 右乘 $P$：$PA=\begin{bmatrix}1 & -4 & 3 \\ 4 & -10 & 6 \\ 7 & -16 & 9 \end{bmatrix}$

  左/右 乘初等矩阵，矩阵 $A$ 做一次和 $P$ 同样的初等变换 (第 2 行/列 乘以-2)

例：已知 3 阶矩阵 $A$ 可逆，将 $A$ 的第 2 列和第 3 列交换得到矩阵 $B$，再把矩阵 $B$ 的第 1 列的 -2 倍加至第三列得到矩阵 $C$，求满足 $PA^{-1}=C^{-1}$ 的矩阵 $P$ .

$A$ 的第 2 列和第 3 列交换得到矩阵 $B$： $B=A\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

$B$ 的第1列的 -2 倍加至第3列得到 $C$：$C=B\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = A\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

则易得：$C^{-1} = (A\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix})^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}A^{-1}$

$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$，同理，$(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$

证明：过程比较简单，因为矩阵乘以矩阵还是一个矩阵，因此对于(ABC)^{-1}可以先把BC看成一个整体，则得到 $(BC)^{-1}A^{-1}$，再对 $(BC)^{-1}$ 单独求出即可，结果为 $C^{-1}B^{-1}A^{-1}$

初等矩阵求逆参照上面提到过的公式

由 $PA^{-1}=C^{-1}$ 得：
$PA^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}A^{-1}$

即： $P = \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

乘以初等矩阵，按照初等变换进行相同的变换即可

矩阵的秩

矩阵等价

矩阵 $A$ 经过有限次初等变换得到 $B$，称矩阵 $A$ 和 $B$ 等价，记作 $A \sim B$ (考研用的符号是 $\stackrel{\sim} {=}$)

矩阵等价的充要条件

• $A \sim B \longleftrightarrow$ 存在可逆矩阵 $P$ 和 $Q$ 使得 $PAQ=B \longleftrightarrow R(A)=R(B)$
• 一般直接记：$A \sim B \longleftrightarrow R(A)=R(B)$

$R(A)$ 表示 矩阵 $A$ 的秩，矩阵 $A$ 和 $B$ 等价则两矩阵秩相同，反之也成立。

初等变换保秩 (不改变矩阵的秩)

定义法求矩阵的秩

矩阵 $A$ 中非零子式的最高阶数称为矩阵 $A$ 的秩，记作 $R(A)$

子式就是行列式，矩阵 $A$ 的子式就是指矩阵 $A$ 对应的行列式中包含的子行列式

行列式本质上就是一个数值，非零子式就是指值不为0的行列式

例：$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$，求矩阵 $A$ 的秩

矩阵 $A$ 的 2 阶子式 (2*2)：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$，这 3 个子式值都为 0

矩阵 $A$ 的 1 阶子式 (1*1)：$[1] \quad [2] \quad [3] \quad [4] \quad [5] \quad [6]$，这 6 个子式都是非零子式

非零子式的最高阶为1，因此 $R(A)=1$

例：求矩阵 $A$ 的秩，其中 $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & -5 \\ 4 & 7 & 1 \end{bmatrix}$

$A$ 的3阶子式只有一个，$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & -5 \\ 4 & 7 & 1 \end{vmatrix}=0$

$A$ 的二阶子式中，易得 $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} \neq 0$，则 $R(A)=2$.

利用行阶梯矩阵求矩阵的秩

定义法求矩阵的秩相对比较麻烦，该方法更简单

行阶梯矩阵：元素全为零的行 (如果存在) 在最后一行，并且每行从左往右开始数第一个非零元素所在列的下方元素全为0，这种矩阵被称为行阶梯矩阵。

如：

这种矩阵因为在非零元素和零元素的分界线像是一个阶梯，且是按行定义，所以被称为行阶梯矩阵

矩阵 $A$ 的秩等于它对应的行阶梯矩阵非零行的行数

行阶梯矩阵有 $n$ 行不是全为零，则秩就为 $n$

如：$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}，R(A)=2$

例：求矩阵 $B$ 的秩，其中 $B=\begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 & 5 & 0 \\ 3 & -2 & 3 & 6 & -1 \\ 2 & 0 & 1 & 5 & -3 \\ 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \end{bmatrix}$

初等变换不改变矩阵的秩，对矩阵 $B$ 做初等变换，将其变换为行阶梯矩阵：

$B = B=\begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 & 5 & 0 \\ 3 & -2 & 3 & 6 & -1 \\ 2 & 0 & 1 & 5 & -3 \\ 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \end{bmatrix} \stackrel {r_1 \leftrightarrow r4} {\sim} \begin{bmatrix} 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \\ 3 & -2 & 3 & 6 & -1 \\ 2 & 0 & 1 & 5 & -3 \\ 3 & 2 & 0 & 5 & 0 \end{bmatrix} \stackrel {\stackrel {\stackrel {r_2 – 3r_1} {r_3 – 2r_1}} {r_4 – 3r_1}} {\sim}$

$\begin{bmatrix} 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \\ 0 & -4 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & -12 & 9 & 7 & -11 \\ 0 & -16 & 12 & 8 & -12 \end{bmatrix} \stackrel {\stackrel {r_3-3r_2} {r_4-4r_2}} {\sim} \begin{bmatrix} 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \\ 0 & -4 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & -8 \end{bmatrix} \stackrel {r_4-r_3} {\sim}$

$\begin{bmatrix} 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \\ 0 & -4 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

则 $R(B)=3$

变换行阶梯矩阵时，第一步通常都是把列中最上方元素化为 1，这样可以很容易通过该元素将当前列下方的元素都消为 0

例：设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & \lambda & -1 \\ 5 & 6 & 3 & \mu \end{bmatrix}$，已知 $R(A)=2$，求 $\lambda$ 和 $\mu$ 的值.

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & \lambda & -1 \\ 5 & 6 & 3 & \mu \end{bmatrix} \stackrel {\stackrel {r_2 – 3r_1} {r_3 – 5r_1}} {\sim} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & \lambda+3 & -4 \\ 0 & -4 & 8 & \mu-5 \end{bmatrix} \stackrel {r_3-r_2} {\sim}$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & \lambda+3 & -4 \\ 0 & 0 & 5-\lambda & \mu-1 \end{bmatrix}$

已知 $R_{A}=2$，则 $5-\lambda=0，\mu-1=0$，得 $\lambda=5，\mu=1$

矩阵求秩公式

• $R(KA) = R(A) \quad (K \neq 0)$
• $R(A)=R(A^T)$
• $R(A_{m*n}) \le min \{m,n\}$
• $A$ 可逆 $\rightarrow R(AB)=R(B)$
  

  可逆矩阵乘以目标矩阵，不改变目标矩阵的秩

• $R(AB) \le min \{R(A),R(B)\}$
• $R(A+B) \le R(A)+R(B)$
• $A_{m*n}B_{n*s}=0，则 R(A)+R(B) \le n$
• $R(A)=R(A^TA)=R(AA^T)=R(A^T)$

例：$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & a & 3 \\ 2 & 4 & 5 \end{bmatrix}$， $B$ 是 $3*4$ 的非零矩阵，且 $AB=0$，求 $R(B)$.

已知 $B$ 为$3*4$ 的非零矩阵，则 $1 \le R(B) \le 3$

对于矩阵 $A$，易得子式 $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} \neq 0$ ，由于 $a$ 的值未知，三阶子式结果未知，$2 \le R(A) \le 3$

由于 $AB=0$ 且 $A$ 的列数与 $B$ 的行数相等，则 $R(A) + R(B) \le 3$

即：$\begin{cases} 1 \le R(B) \le 3 \\ 2 \le R(A) \le 3 \\ R(A)+R(B) \le 3 \end{cases}$，易得 $R(A)=2，R(B)=1$.

矩阵分块

矩阵分块的原则

可以将一个矩阵中不同部分进行分块处理，将一个矩阵分为多个块，使用处理后的矩阵进行运算

例：设 $A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}，B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 4 & 1 \\ -1 & -1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$，求 $AB$.

矩阵 $A，B$ 分块：

记：$A=\begin{bmatrix} E & O \\ A_{12} & E \end{bmatrix}，B=\begin{bmatrix} B_{11} & E \\ B_{12} & B_{22} \end{bmatrix}$

则 $AB=\begin{bmatrix} E & O \\ A_{12} & E \end{bmatrix}\begin{bmatrix} B_{11} & E \\ B_{12} & B_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_{11} & E \\ A_{12}B_{11}+B_{12} & A_{12}+B_{22} \end{bmatrix}$

而：

$A_{12}B_{11}+B_{12}=\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 4 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

$A_{12}+B_{22}=\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$

故 $AB=\begin{bmatrix} B_{11} & E \\ A_{12}B_{11}+B_{12} & A_{12}+B_{22} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 1 \\ -2 & 4 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

矩阵块作为矩阵元素进行相乘也遵循矩阵相乘的规则

矩阵块命名一定要规范

矩阵分块原则上可以随便划分，但在划分的时候我们一般会找一些特征性强的来进行划分，例如上面例题中划分后得到的零矩阵 $O$，单位矩阵 $E$ 等，有目的地去分块会大大提高我们的计算效率.

利用矩阵分块求逆矩阵

矩阵块公式

1. $\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix} A^n & 0 \\ 0 & B^n \end{bmatrix}$

2. $\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 &B^{-1} \end{bmatrix}$

3. $\begin{bmatrix} 0 & A \\ B & 0 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & B^{-1} \\ A^{-1} & 0 \end{bmatrix}$

对于只有一个数字作为元素的矩阵求逆，由 $AB=E$ 得，该矩阵的逆矩阵中的元素为原数字的倒数，例：$A=[5]，A^{-1}=[\frac {1}{5}]$.

对于分块后得到的 2 阶矩阵求逆，主对调，副变号 不适用

对于对角矩阵，上方的三个公式也适用，不过其对应逆矩阵中元素都变为原来的倒数

例：设 $A= \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$，求 $A^{-1}$

矩阵分块：$A = \begin{bmatrix} A_{11} & O \\ O & A_{12} \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \begin{bmatrix} A_{11}^{-1} & O \\ O & A_{12^{-1}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac {1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3\end{bmatrix}$