【剑指の精选】热门状态机 DP 运用题-五八三

题目描述

这是 LeetCode 上的 剑指 Offer II 091. 粉刷房子 ，难度为中等。

Tag : 「状态机 DP」、「动态规划」

假如有一排房子，共 n 个，每个房子可以被粉刷成红色、蓝色或者绿色这三种颜色中的一种，你需要粉刷所有的房子并且使其相邻的两个房子颜色不能相同。

当然，因为市场上不同颜色油漆的价格不同，所以房子粉刷成不同颜色的花费成本也是不同的。每个房子粉刷成不同颜色的花费是以一个 n x 3 的正整数矩阵 costs 来表示的。

例如，costs[0][0] 表示第 $0$ 号房子粉刷成红色的成本花费；costs[1][2] 表示第 $1$ 号房子粉刷成绿色的花费，以此类推。

请计算出粉刷完所有房子最少的花费成本。

示例 1：

输入: costs = [[17,2,17],[16,16,5],[14,3,19]]


输出: 10

解释: 将 0 号房子粉刷成蓝色，1 号房子粉刷成绿色，2 号房子粉刷成蓝色。
最少花费: 2 + 5 + 3 = 10。

示例 2：

输入: costs = [[7,6,2]]


输出: 2

提示:

$costs.length == n$
$costs[i].length == 3$
$1 <= n <= 100$
$1 <= costs[i][j] <= 20$

状态机 DP

为了方便，我们记 costs 为 cs。

根据题意，当我们从前往后决策每间房子的颜色时，当前房子所能刷的颜色，取决于上一间房子的颜色。

我们可以定义 $f[i][j]$ 为考虑下标不超过 $i$ 的房子，且最后一间房子颜色为 $j$ 时的最小成本。

起始我们有 $f[0][i] = cs[0][i]$ ，代表只有第一间房子时，对应成本为第一间房子的上色成本。

然后不失一般性考虑， $f[i][j]$ 该如何计算： $f[i][j]$ 为所有 $f[i – 1][prev]$ （其中 $prev \neq j$ ）中的最小值加上 $cs[i][j]$ 。

本质上这是一道「状态机 DP」问题：某些状态只能由规则限定的状态所转移，通常我们可以从 $f[i][j]$ 能够更新哪些目标状态（后继状态）进行转移，也能够从 $f[i][j]$ 依赖哪些前置状态（前驱状态）来转移。

一些细节：考虑到我们 $f[i][X]$ 的计算只依赖于 $f[i – 1][X]$ ，因此我们可以使用三个变量来代替我们的动规数组。

Java 代码：

class Solution {

    public int minCost(int[][] cs) {

        int n = cs.length;

        int a = cs[0][0], b = cs[0][1], c = cs[0][2];

        for (int i = 1; i < n; i++) {
            int d = Math.min(b, c) + cs[i][0];
            int e = Math.min(a, c) + cs[i][1];
            int f = Math.min(a, b) + cs[i][2];
            a = d; b = e; c = f;

        }

        return Math.min(a, Math.min(b, c));

    }

}

Java 代码：

class Solution {

    public int minCost(int[][] cs) {

        int n = cs.length;

        int a = cs[0][0], b = cs[0][1], c = cs[0][2];

        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            int d = Math.min(b, c) + cs[i + 1][0];
            int e = Math.min(a, c) + cs[i + 1][1];
            int f = Math.min(a, b) + cs[i + 1][2];
            a = d; b = e; c = f;

        }

        return Math.min(a, Math.min(b, c));

    }

}