✅背包理论基础 – 基于二维数组实现

01背包在背包问题中是基础的重中之重！

思路

说实话，背包问题深层的算法对于小白来说确实不太友好，看起来还是有点费劲的。
对于面试的话，其实掌握01背包，和完全背包，就够用了，最多可以再来一个多重背包。
如果这几种背包，分不清，这里有一个图，如下：

至于其他背包，面试几乎不会问，都是竞赛级别的了，leetcode上连多重背包的题目都没有
所以题库也告诉我们，01背包和完全背包就够用了。
而完全背包又是也是01背包稍作变化而来，即：完全背包的物品数量是无限的。
所以背包问题的理论基础重中之重是01背包，一定要理解透！
leetcode上没有纯01背包的问题，都是01背包应用方面的题目，也就是需要转化为01背包问题。
所以我先通过纯01背包问题，把01背包原理讲清楚，后续再讲解leetcode题目的时候，重点就是讲解如何转化为01背包问题了。

01 背包是啥

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

图片[3]-羊羊刷题笔记Day42/60 | 第九章动态规划P4 | 01背包问题（二维数组实现）、01背包问题（一维数组实现）、416. 分割等和子集-五八三
这是标准的背包问题，那么它如何使用暴力解法呢？
每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是O(2^n)，这里的n表示物品数量。
所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！
在下面的讲解中，我举一个例子：
背包最大重量为4。
物品为：

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

问背包能背的物品最大价值是多少？
以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例。

二维dp数组01背包

依然动规五部曲分析一波。

确定dp数组以及下标的含义

对于背包问题，有一种写法，是使用二维数组，即dp[i][j] 表示在下标为[0-i]的物品中取，放进容量为j的背包的最大价值总和。
只看这个二维数组的定义，大家一定会有点懵，看下面这个图：

要时刻记着这个dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的，如果哪里看懵了，就来回顾一下i代表什么，j又代表什么。

确定递推公式

再回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，

不放物品i：由dp[i – 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i – 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)
放物品i：那么容量就要相减减少，变成j – weight[i]。那么价值就是承接上一层dp[i – 1]再加上第 i 个物品价值，即dp[i – 1][j – weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i – 1][j], dp[i – 1][j – weight[i]] + value[i]);

dp数组如何初始化

关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。
首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：

在看其他情况。
状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i – 1][j], dp[i – 1][j – weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。
dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。
当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

代码初始化如下：

// i为0时,j不够weight[0]的设为0
for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) {  
// 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点隐含逻辑。
    dp[0][j] = 0;
}
// 正序遍历 - 下标从weight[0]开始,装上value[0](j够重量)
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

此时dp数组初始化情况如图所示：

dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？
其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i – 1][j], dp[i – 1][j – weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来，那么其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。
但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。
如图：

最后初始化代码如下：

// 创建dp数组
int goods = weight.length;  // 获取物品的数量
int[][] dp = new int[goods][bagSize + 1];


// 初始化dp数组
// 创建数组后，其中默认的值就是0,因此j不够的情况不用初始化
for (int j = weight[0]; j <= bagSize; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

确定遍历顺序

在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量

那么问题来了，先遍历物品还是先遍历背包重量呢？
其实都可以！！但是先遍历物品更好理解。
那么我先给出先遍历物品，然后遍历背包重量的代码。
代码如下:从左到右后从上到下

// 填充dp数组
for (int i = 1; i < weight.length; i++) {
    for (int j = 1; j <= bagSize; j++) {
        if (j < weight[i]) {
            // j不够第i个大 - 不放
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
        } else {
            // j足够第i个大 - 1. 不放 2. 放(可能会要丢到之前一些东西)
            dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
        }
    }
}

先遍历背包，再遍历物品，也是可以的！只需要将两个for循环上下移动（注意我这里使用的二维dp数组）
例如这样：从上到下后从左到右

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

为什么也是可以的呢？
要理解递归的本质和递推的方向。
dp[i][j] = max(dp[i – 1][j], dp[i – 1][j – weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i – 1][j – weight[i]]推导出来的。
dp[i-1][j]和dp[i – 1][j – weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向（包括正上方向），那么先遍历物品，再遍历背包的过程如图所示：

再来看看先遍历背包，再遍历物品呢，如图：

大家可以看出，虽然两个for循环遍历的次序不同，但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角，根本不影响dp[i][j]公式的推导！
但先遍历物品再遍历背包这个顺序更好理解。
其实背包问题里，两个for循环的先后循序是非常有讲究的，理解遍历顺序其实比理解推导公式难多了。

举例推导dp数组

来看一下对应的dp数组的数值，如图：

对应关系为:

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

最终结果就是dp[2][4]。
建议大家此时自己在纸上推导一遍，看看dp数组里每一个数值是不是这样的。
做动态规划的题目，最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在动手写代码！

✍手写分析

整体代码如下:

public class BagProblem {
    public static void main(String[] args) {
        // 补充必要信息
        int[] weight = {1,3,4};
        int[] value = {15,20,30};
        int bagSize = 4;
        testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);
    }

    /**
* 动态规划获得结果
* @param weight  物品的重量
* @param value   物品的价值
* @param bagSize 背包的容量
*/
    public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){

        // 创建dp数组
        int goods = weight.length;  // 获取物品的数量
        int[][] dp = new int[goods][bagSize + 1];

        // 初始化dp数组
        // 创建数组后，其中默认的值就是0
        for (int j = weight[0]; j <= bagSize; j++) {
            dp[0][j] = value[0];
        }

        
        // 填充dp数组
        for (int i = 1; i < weight.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= bagSize; j++) {
                if (j < weight[i]) {
                    // j不够第i个大 - 不放
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                } else {
                    // j足够第i个大 - 1. 不放 2. 放(可能会要丢到之前一些东西)
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
                }
            }
        }


        // 打印dp数组
        for (int i = 0; i < goods; i++) {
            for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
                System.out.print(dp[i][j] + "\t");
            }
            System.out.println("\n");
        }
    }
}

总结

其实可以发现最简单的是推导公式了，推导公式估计看一遍就记下来了，但难就难在如何初始化和遍历顺序上。
可能有的同学并没有注意到初始化和遍历顺序的重要性，后面继续刷力扣上背包面试题目的时候，就会有感受了

✅背包理论基础 – 基础一维数组实现

思路

把二维dp降为一维dp，用如下这个例子来进行讲解
背包最大重量为4。
物品为：

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

问背包能背的物品最大价值是多少？

一维dp数组（滚动数组）

对于背包问题其实状态都是可以压缩的。
在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i – 1][j], dp[i – 1][j – weight[i]] + value[i]);
与 62 不同路径 – 空间优化思想类似，当前这一层只用到上一层的值以服务下一层，到了下一层上上一层的数据就没用了。因此可以使用一维数组优化空间
动规五部曲分析非常类似，如下：

确定dp数组的定义

在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

一维dp数组的递推公式

dp[j]为容量为j的背包所背的最大价值，那么如何推导dp[j]呢？
dp[j]可以通过dp[j – weight[i]]推导出来，dp[j – weight[i]]表示容量为j – weight[i]的背包所背的最大价值。
dp[j – weight[i]] + value[i] 表示容量为 j – 物品i重量的背包加上物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）
此时dp[j]有两个选择，

一个是取自己dp[j] 相当于二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，
一个是取dp[j – weight[i]] + value[i]，即放物品i，

指定是取最大的，毕竟是求最大价值，
所以递归公式为：

dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

可以看出相对于二维dp数组的写法，就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。

一维dp数组如何初始化

关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？
看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j – weight[i]] + value[i]);
dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，这要看题目给的价值，如果都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
（那么假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。）

一维dp数组遍历顺序

代码如下：从右到左后从上到下

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);


    }

}

这里大家发现和二维dp的写法中，遍历背包的顺序是不一样的！
二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。
为什么呢？
倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！。但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！
举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15
如果正序遍历
dp[1] = dp[1 – weight[0]] + value[0] = 15
dp[2] = dp[2 – weight[0]] + value[0] = 30
此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。
为什么倒序遍历，就可以保证物品只放入一次呢？
倒序就是先算dp[2]
dp[2] = dp[2 – weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）
dp[1] = dp[1 – weight[0]] + value[0] = 15
由于递推公式原理是根据左边的值得出，所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。

那么问题又来了，为什么二维dp数组历的时候不用倒序呢？(j第一层循环 i第二层循环)
因为对于二维dp，dp[i][j]都是通过上一层即dp[i – 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！
（如何这里读不懂，大家就要动手试一试了，空想还是不靠谱的，实践出真知！）
再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？
不可以！这样遍历顺序变成从上到下后从右到左了，而从第二个值开始，所依赖的值并没有初始化，因此不能递推。
从本质上来讲，它还是一个对二维数组的遍历，并且右下角的值依赖上一层左上角的值，因此需要保证左边的值仍然是上一层的，从右向左覆盖。
（这里如果读不懂，就再回想一下dp[j]的定义，或者就把两个for循环顺序颠倒一下试试！）
所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的！，这一点大家一定要注意。

举例推导dp数组

一维dp，分别用物品0，物品1，物品2 来遍历背包，最终得到结果如下：

✍手写分析

可以在纸上按着动规五部曲一步一步分析，会有额外收获~：

public static void main(String[] args) {
    // 补充必要信息
    int[] weight = {1, 3, 4};
    int[] value = {15, 20, 30};
    int bagWight = 4;
    testWeightBagProblem(weight, value, bagWight);
}


public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagWeight){
    int wLen = weight.length;
    //定义dp数组：dp[j]表示背包容量为j时，能获得的最大价值
    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    //遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量 - 从右往左后从上到下
    for (int i = 0; i < wLen; i++){
        for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    //打印dp数组
    for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){
        System.out.print(dp[j] + " ");
    }

}

可以看出，一维dp 的01背包，要比二维简洁的多！初始化和遍历顺序相对简单了。
使用一维dp数组的写法，比较直观简洁，而且空间复杂度还降了一个数量级！但需要在掌握其原理后写起来才顺畅~

总结

如果是面试，可能会考一考纯背包问题（就是本文中的题目）
要求先实现一个纯二维的01背包，如果写出来了，然后再问为什么两个for循环的嵌套顺序这么写？反过来写行不行？再讲一讲初始化的逻辑。
进而再要求实现一个一维数组的01背包，最后再问，一维数组的01背包，两个for循环的顺序反过来写行不行？为什么？
（当然这些问题完全可以使用费曼学习法，当成别人会提问你的问题，你如何通过你的理解把他说出来~）
相信大家应该对以上问题都有了答案！
力扣上的题都是背包问题的实际应用问题，基础离不开以上二维与一维数组的实现~

416 分割等和子集

思路

这道题目是要找是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
那么只要找到两个子集之和相等，sum = 子集之和 * 2。因此 sum / 2就是目标子集之和。

01背包问题

背包问题，有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
背包问题有多种背包方式，常见的有：01背包、完全背包、多重背包、分组背包和混合背包等等。
要注意题目描述中商品是不是可以重复放入。
即一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包，写法还是不一样的。
要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。
回归主题：首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。
那么来一一对应一下本题，看看背包问题如何来解决。
只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。

背包的体积为sum / 2 – 看能否把背包塞满
背包要放入的商品（集合里的元素）重量为元素的数值，价值也为元素的数值
背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
背包中每一个元素是不可重复放入。

以上分析完，我们就可以套用01背包，来解决这个问题了。
动规五部曲分析如下：

确定dp数组以及下标的含义

01背包中，dp[j] 表示：容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]。
本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值。
套到本题，dp[j]表示背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]。
那么如果背包容量为target， dp[target]就是装满背包之后的重量，所以当 dp[target] == target 的时候，背包就装满了,且满足题意。

确定递推公式

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j – weight[i]] + value[i]);
本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。
所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j – nums[i]] + nums[i]);

dp数组如何初始化

在01背包，一维dp如何初始化，已经讲过，
从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0。
如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，由于递推需要取最大值，所以非0下标就要初始化为负无穷。
这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
本题题目中只包含正整数的非空数组，所以非0下标的元素初始化为0就可以了。
代码如下：

int target = sum / 2;
int[] dp = new int[target + 1];

确定遍历顺序

如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！即为**从右到左从上到下。（**另外，本题求等和从后面遍历对已经从小到大排序的数组效率更快，如示例【1 5 5 11】当然了，正常来说都是随机的）
代码如下：

// 开始 01背包
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
    for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
    }

}

举例推导dp数组

dp[j]的数值一定是小于等于j的。
如果dp[j] == j 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和j，理解这一点很重要。
用例1，输入[1,5,11,5] 为例，如图：

最后dp[11] == 11，说明可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
综上分析完毕，代码如下：

public boolean canPartition(int[] nums) {
    // 默认所有数加起来等于最大的数sum = max * 2
    // 判空
    if (nums == null || nums.length == 0) return false;

    // 求和 - 判断是否是奇数 - false
    int sum = 0;
    for (int num : nums) {
        sum += num;
    }
    if (sum % 2 != 0) return false;

    // 初始化
    int len = nums.length;
    int target = sum / 2;
    int[] dp = new int[target + 1];
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        for (int j = target; j >= nums[i]; j--)
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
        if (dp[target] == target)
            return true;
    }

    return dp[target] == target;

}