背景: ECC 是一种极其巧妙的非对称加密算法, 其完美利用了椭圆曲线几何累加不可逆的性质，拥有密钥体积小，计算速度快的优势，被广泛用于各种区块链，移动端APP的认证过程。此文章致力于用最少的数学公式解释 ECC 椭圆曲线加密算法，包括椭圆曲线加法性质，进而推导到非对称加密，安全性分析，最后再推导到有限域上的椭圆曲线加密算法.

什么是椭圆曲线

x, y 符合以下定义的曲线就是椭圆曲线:

y^2 = x^3 + a x +b , 且 4 a^3 +27 b^2 \neq 0

它可以是下面的各种形状:

椭圆曲线上的加法

接上面, 椭圆曲线长上面那种样子都无所谓，我们这里不care它的形状的, 我们来讨论在椭圆曲线上面做加法。

假设有一个点P 和点Q，那么我们定义 P + Q 为 : 经过 P,Q 两点的直线与椭圆曲线的交点, 再将这个交点做关于 X轴的对称，关于 x 轴的对称点就是 P+Q 。比如下面这幅图:

聪明的你可能会问如果P,Q两点重合怎么办, 重合的话就是 P+P =2P, 也就是 P点的切线与椭圆曲线的交点, 再将这个交点做关于 X轴的对称，关于 x 轴的对称点就是 2P.

椭圆曲线上两点相加计算公式

如果有两个点 $(x_1, y_1)$ ， $(x_2, y_2)$ , 那么两点相加得到 $(x_3, y_3)$ 公式如下:

x_3 = k^2 – x_1 -x_2 \newline y3 = k*(x_1 – x_3) – y_1 \newline k = (y_2-y_1)/ (x_2-x1), 当 x_1 \neq x_2 时 \newline k = (3 x_1^2 +a) / 2 y_1, 当 x_1 = x_2 时

上面这个公式其实就是给定两点求直线, 再求直线与椭圆曲线的交点，然后关于 x 轴对称的结果，计算过程非常复杂，需要解三次方程，你只需要知道有这个公式即可

椭圆曲线上的加法推广到乘法

有了 2P, 那么同样的方法求出3P。我们将过 P点和2P点做一条直线, 这条直线与椭圆曲线的交点的关于 X轴对称就是 3P, 比如下面这样:

依次类推, 我们可以画出 4P, 5P… NP, 只要不停地连接两点画直线找出与椭圆曲线的交点, 再关于 X轴对称即可。我们把这叫做椭圆曲线上的乘法。

事实上计算NP并不是需要一步步进行计算, 比如计算 100P，并不用计算 1P, 2P, 3P, …, 99P. 我可以直接告诉你一个结论那就是 椭圆曲线上的加法符合结合律。
符合结合律有什么好处呢？好处相当地大，我把计算100P展开来说：

100P = 50P+50P, 而 50P =25P+ 25P , 25P =1P +24P, 24P = 12P +12P, 12P=6P+6P, 6P=3P+3P, 3P=1P+2P, 2P=1P+1P，也就是计算 100P ，我实际上并不需要做100次加法，而只需要做 8次加法即可，每当 NP(N为偶数时), 都可以将 NP 拆成两个 N/2 * P 之和， 所以椭圆曲线上的乘法 Q=k*P 的时间复杂度为 O(logK)。记住这个结论, 非常重要 !!!

从椭圆曲线上的乘法推广到非对称加密

你可能会问求椭圆曲线上的乘法这有什么用呢？

这个问题就是椭圆曲线的精妙之处了:

给定一条椭圆曲线一个起点P, 和大的质数数k, 我们可以很容易地找到 Q=kP点(时间复杂度为 O(logK))。但是反过来, 给出终点Q 和起点P ，让你找出 k, 你只有一次次地从 k =1, k=2, … k=N 去暴力尝试, 这个时间复杂度是为 O(k) 级别的。

这个性质是不是很熟悉？正向容易计算, 逆向极其困难，是不是和RSA有点像了？ RSA 根据私钥计算公钥很容易, 公钥反推私钥几乎不可能。

如果我们将 k 看作私钥, 那么 Q 就可以被看作公钥，这就是椭圆曲线非对称加密算法的原理, 椭圆曲线加密算法的强度保障就在于给定P 和 k 计算 Q是否容易, 但反之给定Q和P 想要计算 k 则是否困难。

具体如何加解密:

选定一条椭圆曲线, 选定起点(也叫基点)P(通常选得非常大)，选取一个整数 k( k<n , k通常很大, 几百bit级别, 但同样的强度相对于 RSA 又明显小一个数量级) 作为私钥, 计算公钥 Q=kP
加密过程如下: 选取一个随机整数r ( r<n, r 通常也很大), 使用公钥Q 和 r 对明文 $M$ 进行加密得到 $CiphterText$ 。 $Cipher_Text$ 由两部分组成:

CipherText= [CipherText1, CipherText2] =[r P, M+r Q] \newline 其中 M 为 原始数据在 椭圆曲线上的 编码, 也是一个坐标点

解密过程如下:

M+r Q -K (r P)= M+k r P-k r P= M

椭圆曲线非对称加密安全性分析

椭圆曲线参数公开, 基点P公开, Q 公开, 私钥 k 解密方保密, r 为加密方保密(一次性随机数,不存储, 不具备重放性)
$CipherText$ 加密需要公开的 Q, M ,以及一次性随机数 r
$CipherText$ 解密需要公开的 $CipherText$ 以及私钥 k
欲截获 $CipherText$ 并破解只有两种可能:
1. 想办法获取到私钥 k, 若私钥不泄露则无此风险
2. 直接通过 $M+rQ-rkP= M$ , 此处由两重困难：
  1. k只能通过终点Q 和基点P 反推, 上面分析过极其困难
  2. r只能通过终点 rP 和基点P 反推, 也是极其困难的, 并且r 是一次性随机数, 不能被重放

从连续的椭圆曲线推广到有限域

根据上面的分析，你已经知道了椭圆曲线从几何意义上是如果确保密钥的强度了。复述一遍就是给定基点P 和私钥 k, 计算终点也就是公钥 Q 比较容易；反之知道终点Q和基点P ，想要反推密钥 k 将极其困难。

那么如果要在计算机上面使用椭圆曲线上的密钥体系, 则还需要解决两个问题

将连续的曲线进行离散化处理，计算机是不能处理 1.111111111111111… 这种精度无穷大的小数的
将离散化的曲线个数进行有限化，计算机无法处理一个无穷大的数字的

解决方法也很简单，对症下药既可：

对连续的曲线进行取整, 对x只考虑整数
对曲线表达式两边同时进行取模操作, 取模操作约束了等式左右两边的大小

如此一来, 离散且有限的”曲线” 表达式就变成下面这样:

y^2 \equiv x^3 + a*x + b (mod p) , x \in Z 且 4*a^3 +27*b^2 \neq 0

这条曲线记作 $GF(p)$ , 特别的是 p 一般取质数(实际应用中会取大质数)。之所以取质数，是为了取值的多样性，为了取值的方碰撞性。

在 $GF(p)$ 上的加法变成了这样:

x_3 \equiv k^2 – x_1 -x_2 （mod p) \newline y3 \equiv k*(x_1 – x_3) – y_1 （modp）\newline k \equiv (y_2-y_1)/ (x_2-x1) (mod p), 当 x_1 \neq x_2 时 \newline k \equiv (3*x_1^2 +a) / 2*y_1 (mod p), 当 x_1 = x_2 时

我们用 python 画一下 $y^2 \equiv x^3 + x +1 (mod 23)$ 的图像

import matplotlib.pyplot as plt



# 定义有限域上的曲线方程
def curve(x):
    return (x**3 + x + 1) % 23

# 生成离散的数据点
x = []
y = []
txt = []
for i in range(23):
    for j in range(23):
        if curve(i) == j**2 % 23:
            x.append(i)
            y.append(j)
            txt.append('(' +str(i)+',' + str(j)+')')
            
# 绘制曲线图像
plt.figure(figsize=(13, 10))
plt.scatter(x, y, marker='o' , s=50)

for i in range(len(x)):
    plt.annotate(txt[i], xy = (x[i], y[i]), xytext = (x[i]+0.05, y[i]+0.1),fontsize=15) 

plt.xlabel('x', fontsize=20)
plt.ylabel('y', fontsize=20)
plt.title('y^2 ≡ x^3 + x + 1 (mod 23)',fontsize=25)
plt.xlim(-1,15)
plt.ylim(-2,24)
plt.grid(True)
plt.show()

图上的每一点都满足 $y^2 \equiv x^3 + x +1 (mod 23)$ 。比如(3,10)这个点，恒等式左边 $10^2 mod(23) = 100 (mod23) =8$ , 恒等式右边 $3^3 + 3 +1 mod(23) = 8$ .

接下来试试有限域上面的加法, 给定一点 $P=(3,10)$ , 求 $2P$

解:

2P= P+P \newline k \equiv (3*x_1^2 +a) / 2*y_1 （mod 23） = (3*3^2 +1) / (2* 10) = 7/5 (mod23) \newline 令 n \equiv 7/5 (mod23) \rightarrow 5*n \equiv 7 mod(23)=7 \rightarrow n=6 \newline 故 k=6 \newline x_3 = 6^2-3-3 (mod 23) = 7 (mod23)= 7 \newline y_3 = 6*(3-7)-10 = -34 (mod 23) =12 \newline 即: 2P= （7，12）

依此类推, 可以计算 3P, 4P …， kP

我们用python计算 P, 2P, …, 22P

import matplotlib.pyplot as plt



# 定义有限域GF(p)
p = 23 

# 定义椭圆曲线方程 y^2 = x^3 + ax + b (mod p)
a = 1
b = 1

# 定义椭圆曲线上一个点P(x, y)
P = (3, 10) 

# 点乘运算 Q = dP
def ecc_point_multiply(P, d, a, p):
    Q = (0, 0)
    for i in range(d):
        Q = ecc_point_add(Q, P, a, p)
    return Q

# 点加法
def ecc_point_add(P, Q, a, p):
    if P == (0, 0):
        return Q
    if Q == (0, 0):
        return P
    x1, y1 = P
    x2, y2 = Q
    if x1 == x2 and y1 != y2:
        return (0, 0)
    if P == Q:
        return ecc_point_double(P, a, p)

    s = (y2 - y1) * pow(x2 - x1, p - 2, p) % p
    x3 = (s*s - x1 - x2) % p 
    y3 = (s*(x1 - x3) - y1) % p
    return (x3, y3)

# 点倍运算  
def ecc_point_double(P, a, p):
    if P == (0, 0):
        return (0, 0)
    x1, y1 = P
    s = (3*x1*x1 + a) * pow(2*y1, p-2, p) % p
    x3 = (s*s - 2*x1) % p
    y3 = (s*(x1 - x3) - y1) % p
    return (x3, y3)
 

k=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27]
Q=[]
txt = []
for i  in range(len(k)):
     Q.append ( ecc_point_multiply(P, k[i], a, p) )
     txt.append(str(i+1)+'P')
        
plt.figure(figsize=(15, 10))

for i  in range(len(Q)):
    plt.scatter(Q[i][0], Q[i][1], marker='o' , s=50, color ='gray')

for i  in range(len(Q)):
    plt.annotate(txt[i], xy = (Q[i][0], Q[i][1]), xytext = (Q[i][0]+0.1, Q[i][1]+0.1),fontsize=15) 
 
for i  in range(len(Q)-1):  
    plt.plot([Q[i][0],Q[i+1][0]] , [Q[i][1],Q[i+1][1]] )

plt.xlabel('x', fontsize=20)
plt.ylabel('y', fontsize=20)
plt.title('y^2 ≡ x^3 + x + 1 (mod 23), p=（3，10), Q=kP',fontsize=20)
plt.xlim(-1,20 )
plt.ylim(-1,23)
plt.grid(linewidth=0.5, color='gray')
plt.show()

说明一下这里计算 Q=kP 还是使用了暴力计算(和逆求解k相同)，并没有使用将逐步二分拆解的优化(比如100P = 50P+50P, 而 50P =25P+ 25P , 25P =1P +24P, 24P = 12P +12P, 12P=6P+6P, 6P=3P+3P, 3P=1P+2P, 2P=1P+1P, 只需计算8次这种优化) 。这里的 k 和 p都比较小, 放上代码只作为一个 demo。实际应用中还是得通过优化将为 logK。

可以看到在有限域上的乘法操作非常的无序，混乱，完全没有任何规律。这种杂乱无章的特性就非常适合用来加密，让人无从下手，找不到任何规律，才能保障密文的安全性。

总结

至此，我已经完整地定性地推导了一次ECC椭圆曲线算法。

回顾一下, 我们从椭圆曲线的几何加法说起, 从加法推广到乘法, 从乘法分析计算过程得出: 给定一条椭圆曲线和基点 P, 正向计算 Q=kP 非常容易, 但反向计算 k 十分困难。这种正向计算容易, 反向计算困难的性质，就是ECC椭圆曲线加密算法的保障。我们顺势推出如何利用这一性质设置加密用的公钥和解密用的私钥，并且做了安全性分析。接着我们从连续的椭圆曲线推广到离散且有界的椭圆曲线(有限域)。

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THE END