深度学习—04—模型选择、欠拟合和过拟合

4.4 模型选择、欠拟合和过拟合

我们的目标是发现模式，但是，我们如何才能确定模型是真正发现了一种泛化的模式， 而不是简单地记住了数据呢？

更正式地说，我们的目标是发现某些模式， 这些模式捕捉到了我们训练集潜在总体的规律。

如果模型在训练集上效果好，但是在测试集上效果不好，就称为过拟合（overfitting），用于对抗过拟合的技术称为 正则化。

4.4.1 训练误差和泛化误差

训练误差（training error）是指， 模型在训练数据集上计算得到的误差。

泛化误差（generalization error）是指， 模型应用在同样从原始样本的分布中抽取的无限多数据样本时，模型误差的期望。

我们要使得泛化误差和训练误差可以差不多，总不能比训练的效果差很多吧？

4.4.1.2 模型复杂度

我们将重点介绍几个倾向于影响模型泛化的因素。

1. 可调整参数的数量。当可调整参数的数量（有时称为自由度）很大时，模型往往更容易过拟合。
2. 参数采用的值。当权重的取值范围较大时，模型可能更容易过拟合。
3. 训练样本的数量。即使模型很简单，也很容易过拟合只包含一两个样本的数据集。而过拟合一个有数百万个样本的数据集则需要一个极其灵活的模型。

4.4.2 模型选择

在机器学习中，我们通常在评估几个候选模型后选择最终的模型。 这个过程叫做模型选择。 有时，需要进行比较的模型在本质上是完全不同的（比如，决策树与线性模型）。 又有时，我们需要比较不同的超参数设置下的同一类模型。

例如，训练多层感知机模型时，我们可能希望比较具有 不同数量的隐藏层、不同数量的隐藏单元以及不同的激活函数组合的模型。 为了确定候选模型中的最佳模型，我们通常会使用验证集。

4.4.2.1 验证集

原则上，在我们确定所有的超参数之前，我们不希望用到测试集。

我们决不能依靠测试数据进行模型选择。 然而，我们也不能仅仅依靠训练数据来选择模型，因为我们无法估计训练数据的泛化误差。

解决此问题的常见做法是将我们的数据分成三份， 除了训练和测试数据集之外，还增加一个验证数据集（validation dataset）， 也叫验证集（validation set）。

4.2.2.2 K折交叉验证

当训练数据稀缺时，我们甚至可能无法提供足够的数据来构成一个合适的验证集。 这个问题的一个流行的解决方案是采用K折交叉验证。 这里，原始训练数据被分成K个不重叠的子集。 然后执行K次模型训练和验证，每次在K−1个子集上进行训练， 并在剩余的一个子集（在该轮中没有用于训练的子集）上进行验证。 最后，通过对K次实验的结果取平均来估计训练和验证误差。

4.5 权重衰减

前面介绍了过拟合的问题，接下来我们将介绍一些正则化的技术。

实际上，限制特征的数量是缓解过拟合的一种常用技术。然而，简单地丢弃特征对这项工作来说可能过于生硬。

根据之前章节所讲的，我们根据估计值与观测值之间的差异来更新w。 然而，我们同时也在试图将w的大小缩小到零。 这就是为什么这种方法有时被称为权重衰减。

4.5.2 从零开始实现权重衰减

import torch

from torch import nn

from d2l import torch as d2l



def init_params():
    w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w, b]

def l2_penalty(w):
    return torch.sum(w.pow(2)) / 2

def train(lambd):
    w, b = init_params()
    # 这里的lambda是定义一个匿名函数， X是参数
    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            # 增加了L2范数惩罚项，
            # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
            l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)  # 对应公式，给损失函数增加 额外的损失
            l.sum().backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())

if __name__ == '__main__':
    n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
    true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
    train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
    train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
    test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
    test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

    train(lambd=3)
    d2l.plt.show()
    # 可以设置 lambd为0，查看如果没有对loss新增损失，作对比
    # train(lambd=0)
    # d2l.plt.show()

4.5.3 简洁实现

# 权重衰减  简洁实现
def train_concise(wd):
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
    for param in net.parameters():
        param.data.normal_()
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    # 偏置参数没有衰减
    trainer = torch.optim.SGD([
        {"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},
        {"params":net[0].bias}], lr=lr)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.mean().backward()
            trainer.step()
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1,
                         (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                          d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())

4.5.4 小结

• 正则化是处理过拟合的常用方法：在训练集的损失函数中加入惩罚项，以降低学习到的模型的复杂度。
• 保持模型简单的一个特别的选择是使用$L_2$惩罚的权重衰减。这会导致学习算法更新步骤中的权重衰减。
• 权重衰减功能在深度学习框架的优化器中提供。
• 在同一训练代码实现中，不同的参数集可以有不同的更新行为。

4.6 暂退法（Dropout）

4.6.1 重新审视过拟合

当面对更多的特征而样本不足时，线性模型往往会过拟合。 相反，当给出更多样本而不是特征，通常线性模型不会过拟合。 不幸的是，线性模型泛化的可靠性是有代价的。 简单地说，线性模型没有考虑到特征之间的交互作用。 对于每个特征，线性模型必须指定正的或负的权重，而忽略其他特征。

4.6.2 扰动的稳健性

在探究泛化性之前，我们先来定义一下什么是一个“好”的预测模型？ 我们期待“好”的预测模型能在未知的数据上有很好的表现： 经典泛化理论认为，为了缩小训练和测试性能之间的差距，应该以简单的模型为目标。

简单性以较小维度的形式展现， 我们在讨论线性模型的单项式函数时探讨了这一点。 此外，正如我们在中讨论权重衰减（$L_2$正则化）时看到的那样， 参数的范数也代表了一种有用的简单性度量。

简单性的另一个角度是平滑性，即函数不应该对其输入的微小变化敏感。 例如，当我们对图像进行分类时，我们预计向像素添加一些随机噪声应该是基本无影响的。

在训练过程中，他们建议在计算后续层之前向网络的每一层注入噪声。 因为当训练一个有多层的深层网络时，注入噪声只会在输入-输出映射上增强平滑性。 这个想法被称为暂退法

因为我们从表面上看是在训练过程中丢弃（drop out）一些神经元。 在整个训练过程的每一次迭代中，标准暂退法包括在计算下一层之前将当前层中的一些节点置零。

4.6.3 实践中的暂退法

4.6.4 从零开始实现暂退法

import torch

from torch import nn

from d2l import torch as d2l




def dropout_layer(X, dropout):
    assert 0 <= dropout <= 1
    # 在本情况中，所有元素都被丢弃
    if dropout == 1:
        return torch.zeros_like(X)
    # 在本情况中，所有元素都被保留
    if dropout == 0:
        return X
    mask = (torch.rand(X.shape) > dropout).float()
    return mask * X / (1.0 - dropout)

我们可以通过下面几个例子来测试dropout_layer函数。 我们将输入X通过暂退法操作，暂退概率分别为0、0.5和1。

X= torch.arange(16, dtype = torch.float32).reshape((2, 8))
print(X)
print(dropout_layer(X, 0.))
print(dropout_layer(X, 0.5))
print(dropout_layer(X, 1.))

tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.,  4.,  5.,  6.,  7.],
        [ 8.,  9., 10., 11., 12., 13., 14., 15.]])
tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.,  4.,  5.,  6.,  7.],
        [ 8.,  9., 10., 11., 12., 13., 14., 15.]])
tensor([[ 0.,  2.,  0.,  6.,  8., 10.,  0.,  0.],
        [16.,  0.,  0., 22.,  0., 26.,  0.,  0.]])
tensor([[0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.]])

4.6.4.1 定义模型参数

同样，我们使用中引入的Fashion-MNIST数据集。 我们定义具有两个隐藏层的多层感知机，每个隐藏层包含256个单元。

num_inputs, num_outputs, num_hiddens1, num_hiddens2 = 784, 10, 256, 256

4.6.4.2 定义模型

我们可以将暂退法应用于每个隐藏层的输出（在激活函数之后）， 并且可以为每一层分别设置暂退概率： 常见的技巧是在靠近输入层的地方设置较低的暂退概率。 下面的模型将第一个和第二个隐藏层的暂退概率分别设置为0.2和0.5， 并且暂退法只在训练期间有效。

dropout1, dropout2 = 0.2, 0.5

class Net(nn.Module):
    def __init__(self, num_inputs, num_outputs, num_hiddens1, num_hiddens2,
                 is_training = True):
        super(Net, self).__init__()
        self.num_inputs = num_inputs
        self.training = is_training
        self.lin1 = nn.Linear(num_inputs, num_hiddens1)
        self.lin2 = nn.Linear(num_hiddens1, num_hiddens2)
        self.lin3 = nn.Linear(num_hiddens2, num_outputs)
        self.relu = nn.ReLU()

    def forward(self, X):
        H1 = self.relu(self.lin1(X.reshape((-1, self.num_inputs))))
        # 只有在训练模型时才使用dropout
        if self.training == True:
            # 在第一个全连接层之后添加一个dropout层
            H1 = dropout_layer(H1, dropout1)
        H2 = self.relu(self.lin2(H1))
        if self.training == True:
            # 在第二个全连接层之后添加一个dropout层
            H2 = dropout_layer(H2, dropout2)
        out = self.lin3(H2)
        return out

net = Net(num_inputs, num_outputs, num_hiddens1, num_hiddens2)

4.6.4.3 训练和测试

num_epochs, lr, batch_size = 10, 0.5, 256
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)

4.6.5 简洁实现

net = nn.Sequential(nn.Flatten(),
        nn.Linear(784, 256),
        nn.ReLU(),
        # 在第一个全连接层之后添加一个dropout层
        nn.Dropout(dropout1),
        nn.Linear(256, 256),
        nn.ReLU(),
        # 在第二个全连接层之后添加一个dropout层
        nn.Dropout(dropout2),
        nn.Linear(256, 10))

def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)

net.apply(init_weights);

接下来，我们对模型进行训练和测试。

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)

4.6.6 小结

• 暂退法在前向传播过程中，计算每一内部层的同时丢弃一些神经元。
• 暂退法可以避免过拟合，它通常与控制权重向量的维数和大小结合使用的。
• 暂退法将活性值ℎ替换为具有期望值ℎ的随机变量。
• 暂退法仅在训练期间使用。